Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

§1. Преобразования базисов и координат

1.Отображение областей. Криволинейные координаты

Рассмотрим область V в системе координат (x,y,z) и область D в системе координат (x¹,x²,x³).

Кроме того, пусть задано взаимно-однозначное соответствие между этими областями, осуществляемое регулярным отображением (регулярное – взаимно-однозначное и такое, что прямое и обратное непрерывно дифференцируемы)

(1)

Будем предполагать, что матрица Якоби отображения (1) не вырождена всюду в области D. Наборы координат (x,y,z) и (x¹,x²,x³) можно интерпретировать следующим образом: каждая точка M из области V определяется, как ее исходными координатами (в дальнейшем это будут декартовы координаты), так и координатами (x¹,x²,x³), которые в отличии от исходных координат называются криволинейными координатами. В основе этой терминологии лежит геометрический подход. Так, если в (1) фиксировать две из трех координат x¹,x²,x³, то получим линию, которая называется координатной линией. Множество всевозможных линий, полученных фиксированием второй и третьей координат обозначим S₁ (параметром линии служит первая координата x₁). Аналогично определяются еще два семейства линий S₂, S₃. При сделанных предположениях через каждую точку будет проходить ровно по одной линии из этих семейств. Таким образом, задание точки однозначно определяется заданием трех линий l₁ÎS₁, l₂ÎS₂, l₃ÎS₃. Наряду с координатными линиями можно рассматривать координатные поверхности, которые получаются, если в (1) фиксировать одну из координат, а остальные две рассматривать, как параметры.

Рассмотрим три координатные линии, проходящие через заданную точку области V

Касательные вектора в точке пересечения этих линий обозначим через

(2)

Эти вектора образуют базис, так как они не компланарны

.

Для данного базиса единственным образом можно определить базис ¹, ², ³ такой, что (, ^j)= . Подробнее об этом речь пойдет в одном из следующих пунктах. Такой базис называется взаимным. Векторы взаимного базиса определяются по формулам

¹= , ²= , ³= . (3)

Определение. Криволинейная система координат (1) называется ортогональной, если в каждой точке области V базис (2) является ортогональным.

В случае ортогональной системы координат формулы (3) упрощаются. Будем предполагать, что тройка правая. Положим H₁= , H₂= , H₃= , величины H₁, H₂, H₃ называются коэффициентами Ламэ. В силу ортогональности (тройка правая)

= H₁ H₂ H₃, = H₂ H₃ , = H₃ H₁ , = H₁ H₂ .

Откуда следует, что

= , = , = .

2. Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве

Цилиндрические координаты

x^1=r	x^2=j	x^3=h
1=(cos j, sin j, 0)	2=r (- sin j, cos j, 0)	3=(0, 0, 1)
H1=1	H2=r	H3=1

Система цилиндрических координат ортогональна и = =r,

= , = = , = .

Сферические координаты

x^1=r	x^2=j	x^3=q, qÎ[-p/2, p/2]
1= (cos q cos j, cos q sin j, sin q)	2= r cos q (-sin j,cos j,0)	3= r (-sin q cos j, - sin q sin j, cos q)
H1=1	H2=r sin q,	H3=r.

Система сферических координат ортогональна и = =r²cos q,

3. Взаимные, сопряженные базисы

В дальнейшем речь пойдет о базисах в трехмерном пространстве.

Определение. Базисы r _i, r ^k называются взаимными или сопряженными, если выполнено условие

( r _i, r ^k) = .

Теорема. Для любого базиса r _i существует единственный взаимный базис.

Из условия r ¹ r ₂, r ¹ r ₃, поэтому этот вектор надо искать в виде c[ r ₂ , r ₃], из условия ( r ₁, r ¹) = 1 находится множитель c. Таким образом,

r ¹ = [ r ₂ , r ₃]/( r ₁, r ₂, r ₃), r ² = [ r ₃ , r ₁]/( r ₁, r ₂, r ₃), r ³ = [ r ₁ , r ₂]/( r ₁, r ₂, r ₃).

Любой вектор пространства можно разложить по базисам

x = x_k r ^k = r _k x^k.

Координаты x_k называются ковариантными координатами, а x^k – контравариантными координатами.

Соглашение 1. В любом выражении, состоящем из некоторого числа сомножителей, наличие индекса у двух сомножителей на разных уровнях будет означать суммирование по этому индексу от 1 до 3. Следует придерживать единого порядка написания индексов суммирования. Договоримся при написании этих индексов следовать правилу: «левый внизу, правый вверху».

Соглашение 2. Иногда, если не возникает путаницы, стрелка над вектором будет опускаться. То же самое касается жирности шрифта для обозначения вектора ( r =r, если не возникает путаницы).

Например, формулы разложений по базисам будут выглядеть следующим образом

x = x_k r^k = r_k x^k.

Еще один пример: a_i c^j = a_i c^j.

Найдем выражение для ко и контравариантных координат

x = x_i rⁱ = r_i xⁱ Þ

x_i = (x, r_i), xⁱ = (x, rⁱ) (1).

Подставляя выражения для координат в разложения вектора, получим формулы Гиббса

x = (x, r_i) rⁱ = r_i (x, rⁱ) (2)

Подставим выражения x из формул Гиббса (2) в (1)

x_i = (x,r_j)(r^j,rⁱ) = x_j g^ji (3)

xⁱ = (r_j,r_i) (x,r^j) = g_ji x^j (4)

Матрицы g^ji = (r^j,rⁱ), g_ji = (r_j,r_i) симметричны и называются метрическими тензорами. Беря в качестве x в формуле (2) вектора r_j, r^j получим формулы, связывающие векторы взаимных базисов с помощью метрических тензоров

r_j = g_ji rⁱ

r^j = r_i g^ji.

Подобные операции носят название операций поднимания и опускания индекса с помощью метрического тензора. Умножим первое равенство на r^k второе на r_k, получим

= g_ji g^ik

= g_ik g^ji.

Эти равенства показывают, что матрицы метрических тензоров взаимно обратные.

4. Преобразование координат

Даны базисы e_i, и eⁱ, ⁱ. Обозначим матрицы, связывающие эти базисы , , , .

_i = e_j , e_i = _j Þ = (5)

Равенство = в развернутом виде выглядит следующим образом

= ,

Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования: «левый внизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний – номер столбца.

^j = eⁱ, e^j = ⁱ Þ = (6)

Последнее равенство в матричном виде:

= .

Умножая первое равенство из (5) на e^k, а второе равенство из (6) на _k получим выражения для матриц перехода между базисами

( _i, e^k) = (e_j , e^k)= = ,

(e^k, _i)= ( ^j, _i)= = .

Таким образом, = . Аналогично показывается, что = . Равенства (5), (6) перепишутся в виде

_i = e_j , e_i = _j (7)

^j = eⁱ, e^j = ⁱ (8)

Равенства (7), (8) в развернутом виде:

= ,	=	(7)
= ,	=	(8)

Выпишем формулы преобразования координат при переходе к другому базису, например, для контравариантных координат.

Имеем x = _i ⁱ = e_i x ⁱ или x= = . Подставляя во второе равенство e_i из (7) получим

x = _j x ⁱ, откуда _j ^j = _j xⁱ и ^j = xⁱ.

Аналогично из равенств , e^k = ^I получаем, откуда . Таким образом,

= , = .

Полученные формулы ^j = xⁱ, позволяют сформулировать правило: координаты векторов при переходе к новому базису преобразуются по тем же законам, что и вектора сопряженного базиса

i = ej	ei = j
	xi = j
^j = e^i	e^j = ^i
^j = x^i	x^j =

§2. Выражение операций теории поля в криволинейных координатах

1. Введение.

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения. С исходной декартовой системой координат xyz ( или x₁x₂x₃) связана криволинейная система координат x¹x²x³ отображением

или

Это отображение предполагается невырожденным, непрерывно дифференцируемым и имеющим отличный от нуля якобиан. Обратное отображение имеет вид

.

Согласно правилам дифференцирования сложных функций справедливы соотношения или в матричном виде

= .

Здесь использованы следующие обозначения для матриц Якоби и ковариантных, контравариантных векторов:

,

звездочкой внизу обозначены ковариантные координаты.

Таким образом, вектора являются сопряженными к

r_i = , т. е. r^j = .

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения:

u_k= ,

2. Выражение градиента в криволинейных координатах

Для скалярного поля u градиент в декартовой системе координат равен

grad u = . По формуле дифференцирования сложной функции

=(grad u, r_i) = u_i . По формулам Гиббса

grad u = (grad u, r_i) rⁱ =u_i rⁱ.

Откуда для ортогональной системы координат

grad u = u_i rⁱ = u_i = u_i .

3. Выражение дивергенции в криволинейных координатах

Обозначим V = P i +Q j + R k, V_i = = , тогда

div V = = + + =

= +

+ +

+ = (V₁,r¹)+(V₂,r²)+(V₃,r³) = (V_k,r^k) =

= .

В ряде случаев приходится рассматривать разложение исходного поля V по базису e_k: V = e_k A^k. В этом случаепредварительно вычисляют производные V_k и полученные выражения подставляют в формулу для данной операции, например, в формулу div V = . Можно показать, что

div V = .

4. Выражение ротора в криволинейных координатах

V = P i +Q j + R k, V_i = = ,

rot V = = =

=

= =-[ V_k, r^k]= [r_k , V_k]= [e_k , V_k].

4. Выражение оператора Лапласа в криволинейных координатах

grad u = , , A^k = , div grad u = (V_k, r^k). Тогда из формулы div V = получим Du = div grad u = .

§3. Выражение операций теории поля в цилиндрических координатах

1. Цилиндрические координаты (r, j, h) = (x¹,x²,x³).

x = r cos j

y = r sin j

z = h

r1 = (cos j, sin j, 0), H1 = |r1| = 1, r2 = (-r sin j,r cos j, 0), H2 = |r2| = r, r3 = (0, 0, 1), H3 = 1.

e₁ = e_r = (cos j, sin j, 0),

e₂ = e_j = (-sin j,cos j, 0),

e₃ = e_h = (0, 0, 1).

Базис e_r, e_j, e_z – ортонормированный.

,

, , ,

.

5. Выражение градиента в цилиндрических координатах

grad u = u_i rⁱ = u_i = u_i .

grad u = r₁ + r₂ + r₃ = e_r + e_j + e_h.

6. Выражение дивергенции в цилиндрических координатах

V = P i +Q j + R k, V_i = = , V₁ = , V₂ = , V₃ = .

Если V = e_kA^k, то

V₁ = V_r = (e_kA^k) = e_k A^k + A^k e_k = e_k A^k .

V₂ = V_j = (e_kA^k) = e_k A^k + A^k = e_k + A¹e₂ - A²e₁.

V₃ = V_h = (e_kA^k) = e_k + A^k = e_k .

Отсюда следует

div V = (V_k,r^k) = = = _.

4. Выражение ротора в цилиндрических координатах

[e₁, e₂]=e₃, [e₃, e₁]=e₂, [e₂, e₃]=e₁,

[e₁, V₁] = [e₁, e₂] + [e₁, e₃] = e₃ - e₂,

[e₂, V₂] = = ,

[e₃, V₃] = [e₃, e₁] + [e₃, e₂] = e₂ - e₁,

rot V = + + .

5. Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах

H = H₁ H₂ H₃ = r,

Du = div grad u = = = .

§4. Выражение операций теории поля в сферических координатах

1. Сферические координаты (r, j, q) = (x¹,x²,x³).

x = r cos q cos j

y = r cos q sin j

z = r sin q

r1 = (cos q cos j, cos q sin j, sin q), H1 = |r1| = 1, r2 = (-r cos q sin j, r cos q cos j, 0), H2 = |r2| = r cos q, r3 = (-r sin q cos j, -r sin q sin j, r cos q), H3 = r.

e₁ = e_r = (cos q cos j, cos q sin j, sin q),

e₂ = e_j = (- sin j, cos j, 0),

e₃ = e_q = (- sin q cos j, - sin q sin j, cos q).

Базис e_r, e_j, e_q – ортонормированный.

,

= cos q e₂, = - cos q e₁ + sin q e₃, = - sin q e₂,

= e₃, = 0, = - e₁.

2. Выражение градиента в сферических координатах

3. grad u = u_i rⁱ = u_i = u_i .

grad u = r₁ + r₂ + r₃ = e_r + e_j + e_q

4. Выражение дивергенции в сферических координатах

Пусть V =e_k A^k,

V₁ = V_r = (e_k A^k) = e_k + A^k = e_k .

V₂ = V_j = (e_kA^k) = e_k + A^k =

= e_k – A² cos q e₁+(cosq A¹ - A³sin q) e₂ + A² sin q e₃ = .

V₃ = V_h = (e_kA^k) = e_k + A^k = .

Отсюда следует

div V = (V_k,r^k) = = (V₁,e₁) (V₂,e₂) + (V₃,e₃) = + + = + .

4. Выражение ротора в сферических координатах

[e₁, e₂]=e₃, [e₃, e₁]=e₂, [e₂, e₃]=e₁,

[e₁, V₁] = [e₁, e₂] + [e₁, e₃] = e₃ - e₂,

[e₂, V₂] = =

,

[e₃, V₃] = [e₃, e₁] + [e₃, e₂] [e₃, e₁] =

= e₂ e₁ ,

rot V = e₃ - e₂ + + e₂ e₁ =

= + + .

5. Выражение оператора Лапласа в сферических координатах

H₁ = 1, H₂ = r cos q, H₃ = r,

Du = div grad u = = = .

Дата добавления: 2015-07-08