Глава 2. Кратные интегралы. Продолжение

§1. Тройные и n-кратные интегралы

1.Определение тройного и n-кратного интеграла

Пусть D кубируема, ее площадь будем обозначать mD, функция f(M) = f(x,y,z) определена и ограничена в области D. Предположим, что D разбита поверхностями на кубируемые подобласти D_k (совокупность { D_k} называется разбиением области D). В каждой из подобластей D_k выберем точку M_k=(x_k,h_k,z_k)ÎD_k. Полученный набор точек обозначим X ={M_k}. Интегральной суммой для набора f, разбиения D, набора промежуточных точек X называется выражение

(1)

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l(D)= dD_k называется характеристикой разбиения D. Здесь – диаметр множества D_k.

Условие M_kÎD_k, для всех k мы будем обозначать XÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается

= .

Можно использовать обозначение = (вместо M можно использовать любую подходящую букву, например ).

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:(l(D)<d, XÎD)Þ|s(f,D, X) - J|<e.

Понятие длины, площади, объема распространяется и на области n- мерного евклидова пространства. В этом случае говорят об измеримости множества D n- мерного пространства и о его мере mD. Для измеримой области D и определенной на ней функции f(x)=f(x₁,x₂,…,x_n) рассматривается разбиение этой области на измеримые множества { D_k}. В каждой из подобластей выбираются промежуточные точки x^k=()ÎD_k. Полученный набор точек обозначим X ={x^k}. Интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

(1)

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l(D)= dD_k, где максимум берется по всем множествам разбиения, называется характеристикой разбиения D. Как и раньше, – диаметр множества D_k, где точная верхняя грань берется по всевозможным точкам x=(x₁,x₂,…,x_n), y=(y₁,y₂,…,y_n) из D_k.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек) называется интегралом от функции f на D и обозначается

= .

Для n- кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным для двойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.

1)

2) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.

3) Если f интегрируема на D, то cf(x) также интегрируема и

=c .

4) Если f интегрируема на D, то |f| также интегрируема и

| | £ .

5) Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D, то

£ .

6) Если m £ f(x) £ M на D, то $ cÎ[m,M]:

= c mD.

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD:

= f(x)mD.

7) Непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.

8) Если mD = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено

f(x) dx=0.

2. Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда

Пусть V – прямоугольный параллелепипед [a,b]´ [c,d] ´ [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V. Обозначим прямоугольник [c,d] ´ [g,h] через D.

Теорема. Если существует и для любого xÎ[a,b] существует , то существует интеграл и имеет место равенство

= .

(здесь и в дальнейшем используются обозначения = )

Доказательство. Рассмотрим разбиение D области V:

D={a=x₀<…<x_n=b;c=y₀<…<y_m=d;g=z₀<…<z_l=h}.

Полученные подобласти обозначим V_ijk=[x_i,x_i+1]´[y_j,y_j+1]´[z_k,z_k+1],i=0,…,n-1, j=0,…,m-1, z=0,…,l-1. Кроме того, будем использовать обозначения X=(x,y,z)

m_ijk= , M_ijk= . Тогда для XÎV_ijk справедливы неравенства m_ijk£ f(X) £ M_ijk.

Для набора промежуточных точек {x _i }, x _i Î [x_i,x_i+1] будет выполнено

m_ijk Dy_j Dz_k £ £ M_ijk Dy_j Dz_k,

m_ijk Dy_j Dz_k £ £ M_ijk Dy_j Dz_k,

Домножая последние неравенства на Dx_i и суммируя, получим

m_ijk Dx_i Dy_j Dz_k £ £ M_ijk Dx_i Dy_j Dz_k.

Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла , крайние суммы являются суммами Дарбу для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида

= ,

= ,

= .

Через D_x, D_y, D_z обозначены проекции области V на координатные плоскости x=0, y=0, z=0, соответственно.

В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом

= ,

= .

(используются обозначения = )

Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства

= ,

= ,

= ,

Здесь D_xy =D_z =[a,b]´ [c,d], D_zx=D_y =[g,h] ´ [a,b], D_yz =D_x = [c,d] ´ [g,h].

3. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида

Пусть V – область, расположенная между плоскостями x=a, x=b, L_x – плоскость параллельная координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x. Для x Î [a,b] обозначим через D_x сечение VÇ L_x. Будем предполагать, что D_x квадрируемадля всех x Î [a,b]. При этих предположениях справедлива

Теорема. Если существует и для "xÎ[a,b] существует I(x)= то существует и и

= .

Доказательство. Обозначим через R=[a,b]´ [c,d] ´ [g,h] прямоугольный параллелепипед, содержащий область V и определим на R функцию

f^*(M)= .

Тогда

= , R_x= [c,d]´ [g,h].

Для левого и правого интегралов справедливы равенства

= + = .

= = .

Замечание. Сечение D_x = VÇ L_x может быть задано в виде

D_x = {(y,z): y₁(x) £ y £ y₂(x), z₁(x,y) £ z £ z₂(x,y)}.

В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим образом = = .

D – представляет собой проекцию V на плоскость z=0. Эту область можно также описать в виде

D = {(x,y):a £ x £ b, y₁(x) £ y £ y₂(x)}. Расставляя переменные x,y,z в другом порядке можно получить другие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.

4. Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение с якобианом, отличным от нуля

, (x, h, z)Î S

из S в V, где области S и V кубируемы. Тогда для объема области V справедлива формула

m V = (4).

Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что

=m V = = m S.

Откуда следует, что в любой точке области M₀=(x₀,h₀,z₀)

= .

Теорема (о замене переменных). Если f интегрируема в V, то

= .

Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Интегрируемость функции F(x,h,z)=f[x(x,h,z),y(x,h,z),z(x,h,z)] на S доказывается так же, как и в случае двойного интеграла. Выберем какое-либо разбиение {S_j} области S и обозначим через {V_j} соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (4)

m V_j = = m S_j.

Полученные таким образом точки M_j = (x_j, h_j, z_j) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм функции F(x,h,z) и разбиения {S_j}, а соответствующие точки P_j = (x_j, y_j, z_j) для интегральных сумм функции f(x,y,z) и разбиения {V_j}. В этом случае

.

Из этого равенства следует требуемое утверждение.

Пример 1. Цилиндрические координаты

, x²+y²=z², 0 £ z £ 1

, .

В этом случае D = {(r,j,h): 0 £ j £ 2p, 0 £ r £ z, " zÎ[0,1]}.

= = = = = .

Пример 2. Сферические координаты

A= , x²+y²+z² £ 1, 0 £ x, 0 £ y, 0 £ z.

, = =

=-sinq (r²sinq cosq sin²j+r²sinq cosq cos²j)-rcosq(r cos²q sin²j+r cos²q cos²j) =

=-sinq r²sinq cosq -rcosq r cos²q =-r²cos q.

A= = = .

Пример 3. В интеграле расставить пределы интегрирования в порядке dxdzdy и dzdxdy.

Пример 4. Заменить тройной интегрлал однократным

= + = + = +

5. Замена переменных в общем случае

Рассмотрим регулярное отображение

( кратко x=x(u))

из области S в область V. При измеримости областей S, V справедлива формула замены переменных

= ,

существование интегралов предполагается.

Дата добавления: 2015-07-08