Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Глава 2. Кратные интегралы. Продолжение

Читайте также:
  1. II. Продолжение
  2. III. Продолжение
  3. Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл
  4. Глава 11. ЖИЗНЬ В ЛХАСЕ. Продолжение
  5. ГЛАВА IV ПРОДОЛЖЕНИЕ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОЯСНЕНИЯ ЭНГЕЛЬСА
  6. день вылета для туров на 3 дня/2 ночи или продолжение отдыха - для туров с отдыхом.

 

§1. Тройные и n-кратные интегралы

1.Определение тройного и n-кратного интеграла

Пусть D кубируема, ее площадь будем обозначать mD , функция f(M)=f(x,y,z) определена и ограничена в области D. Предположим, что D разбита поверхностями на кубируемые подобласти Dk (совокупность {Dk} называется разбиением области D). В каждой из подобластей Dk выберем точку Mk=(xk,hk,zk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Интегральной суммой для набора f, разбиения D , набора промежуточных точек X называется выражение

(1)

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l(D)= dDk называется характеристикой разбиения D . Здесь диаметр множества Dk .

Условие MkÎDk, для всех k мы будем обозначать XÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается

= .

Можно использовать обозначение = ( вместо M можно использовать любую подходящую букву, например ).

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:(l(D)<d, XÎD)Þ|s(f,D, X) - J|<e.

Понятие длины, площади, объема распространяется и на области n- мерного евклидова пространства. В этом случае говорят об измеримости множества D n- мерного пространства и о его мере mD. Для измеримой области D и определенной на ней функции f(x)=f(x1,x2,…,xn) рассматривается разбиение этой области на измеримые множества {Dk}. В каждой из подобластей выбираются промежуточные точки xk=( )ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={xk}. Интегральной суммой для набора f, D , X называется выражение

(1)

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l(D)= dDk , где максимум берется по всем множествам разбиения, называется характеристикой разбиения D . Как и раньше, диаметр множества Dk , где точная верхняя грань берется по всевозможным точкам x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) из Dk .

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется интегралом от функции f на D и обозначается

= .

Для n-кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным для двойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.

1)

2) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.

 

3) Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и

=c .

4) Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и

| | £ .

5) Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D , то

£ .

6) Если m £ f(x) £ M на D, то $ cÎ[m,M] :

= c mD.

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD:

= f(x)mD.

7) Непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.

8) Если mD = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено

f(x) dx=0.

2. Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда



Пусть V – прямоугольный параллелепипед [a,b]´ [c,d] ´ [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V. Обозначим прямоугольник [c,d] ´ [g,h] через D.

Теорема. Если существует и для любого xÎ[a,b] существует , то существует интеграл и имеет место равенство

= .

(здесь и в дальнейшем используются обозначения = )

Доказательство. Рассмотрим разбиение D области V :

D={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.

Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]´[yj,yj+1]´[zk,zk+1],i=0,…,n-1, j=0,…,m-1, z=0,…,l-1. Кроме того, будем использовать обозначения X=(x,y,z)

mijk= , Mijk= . Тогда для XÎVijk справедливы неравенства mijk£ f(X) £ Mijk .

Для набора промежуточных точек {x i }, x i Î [xi,xi+1] будет выполнено

mijk Dyj Dzk £ £ Mijk Dyj Dzk,

mijk Dyj Dzk £ £ Mijk Dyj Dzk,

Домножая последние неравенства на Dxi и суммируя, получим

mijk Dxi Dyj Dzk £ £ Mijk Dxi Dyj Dzk .

Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла , крайние суммы являются суммами Дарбу для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида

Загрузка...

= ,

= ,

= .

Через Dx , Dy , Dz обозначены проекции области V на координатные плоскости x=0, y=0, z=0 , соответственно.

В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом

= ,

= .

(используются обозначения = )

Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства

= ,

= ,

= ,

Здесь Dxy =Dz =[a,b]´ [c,d], Dzx=Dy =[g,h] ´ [a,b] , Dyz =Dx = [c,d] ´ [g,h].

3. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида

Пусть V – область, расположенная между плоскостями x=a, x=b, Lxплоскость параллельная координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x.Для x Î [a,b] обозначим через Dx сечение VÇ Lx . Будем предполагать, что Dx квадрируемадля всех x Î [a,b]. При этих предположениях справедлива

Теорема. Если существует и для "xÎ[a,b] существует I(x)= то существует и и

= .

Доказательство. Обозначим через R=[a,b]´ [c,d] ´ [g,h] прямоугольный параллелепипед, содержащий область V и определим на R функцию

f*(M)= .

Тогда

= , Rx= [c,d]´ [g,h].

Для левого и правого интегралов справедливы равенства

= + = .

= = .

Замечание. Сечение Dx = VÇ Lx может быть задано в виде

Dx = {(y,z): y1(x) £ y £ y2(x) , z1(x,y) £ z £ z2(x,y)}.

В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим образом = = .

D – представляет собой проекцию V на плоскость z=0. Эту область можно также описать в виде

D = {(x,y):a £ x £ b, y1(x) £ y £ y2(x)}. Расставляя переменные x,y,z в другом порядке можно получить другие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.

4. Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение с якобианом, отличным от нуля

, (x, h, z )Î S

из S в V, где области S и V кубируемы. Тогда для объема области V справедлива формула

m V = (4).

Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что

=m V = = m S.

Откуда следует, что в любой точке области M0=(x0 ,h0 ,z0 )

= .

Теорема ( о замене переменных ). Если f интегрируема в V, то

= .

Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Интегрируемость функции F(x,h,z)=f[x(x,h,z),y(x,h,z),z(x,h,z)] на S доказывается так же, как и в случае двойного интеграла. Выберем какое-либо разбиение {Sj} области S и обозначим через {Vj} соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (4)

m Vj = = m Sj.

Полученные таким образом точки Mj = (xj , hj , zj ) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм функции F(x,h,z) и разбиения {Sj}, а соответствующие точки Pj = (xj , yj , zj ) для интегральных сумм функции f(x,y,z) и разбиения {Vj}. В этом случае

.

Из этого равенства следует требуемое утверждение.

Пример 1. Цилиндрические координаты

, x2+y2=z2, 0 £ z £ 1

, .

В этом случае D = {(r,j,h): 0 £ j £ 2p , 0 £ r £ z , " zÎ[0,1]} .

= = = = = .

Пример 2. Сферические координаты

A= , x2+y2+z2 £ 1, 0 £ x , 0 £ y , 0 £ z .

, = =

=-sinq (r2sinq cosq sin2j+r2sinq cosq cos2j)-rcosq(r cos2q sin2j+r cos2q cos2j) =

=-sinq r2sinq cosq -rcosq r cos2q =-r2cos q .

A= = = .

Пример 3. В интеграле расставить пределы интегрирования в порядке dxdzdy и dzdxdy.

Пример 4. Заменить тройной интегрлал однократным

= + = + = +

5. Замена переменных в общем случае

Рассмотрим регулярное отображение

( кратко x=x(u) )

из области S в область V. При измеримости областей S , V справедлива формула замены переменных

= ,

существование интегралов предполагается.


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 232 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Глава 4. Поверхностные интегралы | Глава 5. Интегралы, зависящие от параметра | Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты | Глава 7. Элементы тензорного исчисления |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл| Глава 3. Криволинейные интегралы

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.077 сек.)