Глава 5. Интегралы, зависящие от параметра

§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

1. Непрерывность интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

F(y) =

для области вида типа B, D={(x,y):x₁(y)£x£x₂(y),yÎ[c,d]}

Предполагается, что f определена в некоторой прямоугольной области R, содержащей D, как показано на рисунке (D - замкнутая ), x₁(y), x₂(y) непрерывные функции, определенные на [c,d].

Теорема. Если f непрерывна на R, x₁(y), x₂(y) непрерывны на [c,d], то F(y) непрерывна на [c,d].

Доказательство. Для заданного , используя равномерную непрерывность функции f можно подобрать Dy так, что

= £ + + £ M|x₁(y+Dy)-x₁(y)|+(b - a)e + M| x₂(y+Dy)-x₂(y)|.

Здесь используется ограниченность функции f, |f| £ M. Отметим, что при доказательстве использовалось то, что функция определена на некотором объемлющем множестве R. Так, например, для интеграла функция f должна быть определена на отрезке [A,B], лежащем вне области D (см. рисунок)

Определение. Пусть функция f(x,y) определена на [a,b] для любого yÎY. Говорят, что f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y® y₀ если

"e >0$d >0"xÎ[a,b]"yÎU_d(y₀): |f(x,y) - g(x)|<e.

Это понятие является обобщением понятия равномерной сходимости функциональной последовательности f(x,y) равномерно сходится на [a,b] к g(x) при n®¥, где вместо дискретного переменного n (индекса) выступает «непрерывный» параметр y.

Теорема. (Аналог теоремы о непрерывности предельной функции, равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y®y₀ , то функция g(x) непрерывна на [a,b].

Доказательство. Выпишем неравенства

|g(x)-g(x₀)|=| g(x)-f(x,y) +f(x,y)-f(x₀,y)-g(x₀)+ f(x₀,y)|£ | g(x)-f(x,y)|+ |f(x,y)-f(x₀,y)|+ |g(x₀)- f(x₀,y)|. Для заданного e сначала выбираем d окрестность точки x₀ так, чтобы в этой окрестности |f(x,y)-f(x₀,y)|< e для любых y из некоторой окрестности точки y₀. Это можно сделать в силу равномерной непрерывности функции f(x,y). Величины | g(x)-f(x,y)|, |g(x₀)- f(x₀,y)| можно сделать также < e выбором ещё меньшей окрестности точки y₀ для всех x в силу равномерной сходимости f(x,y) к g(x).

Теорема. (Аналог теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла или, что тоже, о почленном интегрировании равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y®y₀, то

.

Доказательство. |b - a|e.

2. Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Предположим, что область является областью типа А и В. Из формул выражения двойного интеграла через повторные следуют следующие формулы

F(y) = G(x)=

3. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема (Лейбниц). Если f и непрерывны в [a,b]´ [c,d], то F(y) =

дифференцируема на [c,d] и .

Доказательство.

= = , 0<q <1. Тогда

£ .

Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции следует требуемое утверждение.

Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f, определенную на прямоугольнике R, содержащем область D.

Теорема. Если f и ее производная непрерывны на R, x₁(y), x₂(y) имеют непрерывные на [c,d] производные, то F(y) = также имеет производную

+ - .

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(u,v,y) = , определенную на прямоугольном параллелепипеде , Для нее существуют непрерывные частные производные . Непрерывность функции = следует из равномерной непрерывности функции . Дифференцируя сложную функцию F(y) = = Ф(y, x₁(y), x₂(y)) получим требуемое равенство.

§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

1. Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

(1)

, yÎY.

Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела

.

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого hÎ[a,b) интеграл (называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде . В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

.

Определение. Пусть интеграл с параметром для всех или для некоторых yÎ Y имеет единственную особенность в b (если b конечное, интеграл 2-го рода) или в +¥ (интеграл 2-го рода). Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если

"e >0$d >0"hÎ(b-d,b)"yÎY: (для интеграла 2-го рода)

"e >0$M"hÎ(M,+µ)"yÎY: (для интеграла 1-го рода)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости

Если существует функция g(x), определенная на [a,b) (b – конечное или +¥), интегрируемая на любом [a, h), hÎ(a,b) такая, что

1) |f(x,y)| £ g(x), a £ x < b, "yÎY

2) сходится,

то интеграл сходится равномерно на Y.

Утверждение следует из неравенств .

Теорема. (Переход к пределу под знаком интеграла) Пусть и f(x,y) определена и непрерывна на [a,b) по x для всех yÎY. Если для любых hÎ(a,b) функция f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b-h] при y®y₀, интеграл равномерно сходится на Y, сходится. Тогда

.

Доказательство.

= .

Для e>0 выбираем h так, что , для всех y (равномерная сходимость и сходимость ). Для выбранного таким образом h можно найти окрестность точки y₀, в которой (равномерная сходимость f(x,y) к g(x) на [a,b-h]).

Критерий Коши равномерной сходимости (интеграла 2-го рода). Для равномерной сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы

"e >0$d>0" y Î Y"h¢,h¢¢Î(b-d,b): .

Достаточность. При выполнении условия для " y Î Y"h¢,h¢¢Î(b-d,b) можно перейти к пределу при h¢¢ ® b. Тогда для " y Î Y"h¢Î(b-d,b): , что означает равномерную сходимость интеграла .

Необходимость. Имеем "e >0$d>0" y Î Y"hÎ(b-d,b): . Тогда при h¢,h¢¢Î(b-d,b) будет выполнено .

2. Непрерывность несобственного интеграла от параметра

Теорема 2. Если f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)´[c,d], интеграл F(y) = сходится равномерно на [c,d], то этот интеграл является непрерывной функцией.

Доказательство.

|F(y+Dy) - F(y)| = £ + + .

Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного e выбором h в силу равномерной сходимости интеграла . После выбора h первый интеграл может быть сделан меньше заданного e выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции f(x,y) на прямоугольнике [a,h] [c,d].

3. Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)´[c,d], интеграл F(y) = сходится равномерно на [c,d], существует интеграл , то

= = .

Доказательство. Для любого hÎ[a,b)

= . Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что сходится равномерно на [c,d] к при h®b. Действительно, .

Эту теорему можно обобщить

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)´[c,d), интеграл сходится равномерно на любом [c,h], интеграл сходится равномерно на любом [a,x] и существует один из повторных интегралов

, , то существует и другой и выполняется равенство

= .

Без доказательства.

4. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Лемма. Если функция f(x,y) непрерывна на [a,b)´[c,d], то сходимость интеграла эквивалентна условию: для любой последовательности h_k®b, h₀=a, h_kÎ[a,b) сходится ряд . Аналогично для равномерной сходимости: для равномерная сходимость интеграла на множестве Y эквивалентна условию: для любой последовательности h_k®b, h₀=a, h_kÎ[a,b) равномерно на Y сходится функциональный ряд .

Это утверждение следует из определения предела по Гейне и выражения для частичных сумм ряда .

Теорема. Пусть функции f(x,y) и непрерывны на [a,b)´[c,d]. Если сходится для всех y а сходится равномерно на [c,d], то функция F(y) = дифференцируема на этом отрезке и

.

Доказательство. Пусть h_n® b,h_nÎ[a,b), h₀=a. Согласно лемме

F(y) = = . Таким образом, функциональный ряд сходится для всех y. Далее, . Таким образом, ряд из производных сходится равномерно на [c,d]. По теореме о почленном дифференцировании функционального ряда = .

Пример. Гамма функция Эйлера Г(p) = , p > 0.

Г(p) непрерывна на (0, µ). Г(p) = + .

Докажем непрерывность функций , на (0, µ).

1) £ , pÎ[e, A]. сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно на [e, A] и, следовательно, является непрерывной функцией на этом множестве [e, A].

2) £ , pÎ[e, A]. сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно на [e, A] и, следовательно, является непрерывной функцией на множестве [e, A].

Для гамма функции Эйлера справедлива формула

(1)

Это равенгство получается после замены x ® xy.

G(p) = = = .

2. Бэта функция Эйлера В(p,q) = , p > 0, q >0.

Сделаем замену , dx = .

В(p,q) = = .

В(p,q) = (2)

3. Другие свойства функций Эйлера

Из формулы (1) следует, что

, . Интегрируя, получим . Откуда, используя (2)

.

В(p,1-p) = Г Г = = ,0<p<1.

Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).

Интеграл сходится для p>0 и сходится равномерно на любом отрезке [e, A ], для 0 < e < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Докажем равномерную сходимость интегралов .

В окрестности нуля |ln x| £ для d > 0 существует C₁(d).

В окрестности бесконечности |ln x| £ для d > 0 существует C₂(d).

Равномерная сходимость интеграла Г^(k)(p)= на любом отрезке [e, A ] следует из оценок £ + £ + , для всех pÎ[e, A]. Здесь для e >0 следует выбрать d так, чтобы e - k d оставалось больше нуля.

4. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Формула Фруллани. Функция f(x) непрерывна и интеграл существует для любого A > 0.

= , = = = = =- f(0) .

= f(0) , (a>0,b>0).

Интегрированием по частям вычисляются интегралы

, a ³ 0, , a ³ 0.

Другой способ: Положим g = -a + ib, , откуда и следуют указанные формулы.

Вычислить

.

, = ,

Интеграл Пуассона

I = .

I ² = = = = = = .

Интеграл I = .

Интегрирование по частям I = = = .

= I, , I = C , I(0) = = = , I = .

Вычислить интеграл F(a,b) = , a>0, b>0 (1)

(2),

из (2) F(a,b) = +С(b).

= = =

F(a,b) = +C(b)= +C(b).

p ln b = F(b,b)=p ln 2 + C(b), C(b) = p .

Дата добавления: 2015-07-08