Дискретное и непрерывное изменение параметра качества

Изменение параметра качества может быть дискретным или непрерывным. Дискретным изменением параметра качества называют такое, при котором рядом лежащие значения в ранжированном ряду отличаются одно от другого на некоторую конечную величину (обычно целое число). Примером дискретного изменения случайной величины может

быть число дефектных изделий в выборках, которые периодически берутся из текущего технологического процесса. Число дефектных изделий может быть только целым.

Непрерывным изменением параметра качества называют такое, при котором рядом лежащие его значения в ранжированном ряду отличаются одно от другого на сколь угодно малую величину. Примером непрерывного изменения случайной величины может служить изменение пробивного напряжения; хотя, например, зафиксирован результат измерения — 197 В, пробивное напряжение на диэлектрике обследуемой структуры не обязательно точно равно этому числу. Если применять более точный измерительный прибор, то результат может оказаться равным, например, 196,86 или 197,32 В.

В любом из этих двух случаев измеренное значение находится ближе к 197, чем к 196 или 198 В. Итак, если у 14 структур, зафиксировано пробивное напряжение 197 В, то в действительности значение каждого из них колеблется в пределах, от 166,5 до 197,4 В. При непрерывном изменении параметра качества его распределение называют интервальным.

За величину интервала (его также называют классом), как правило, принимают его середину, т. е. центральное значение.

Если значение случайной величины находится в точности на границе двух классов, то можно считать (чисто условно) данное значение принадлежащим в равной мере к обоим классам и прибавлять одну его половину к верхнему, а другую половину — к нижнему классу. Наряду с этим правилом можно рекомендовать придерживаться следующего порядка:. в каждый класс включаются те наблюдения, числовые значения которых больше нижней границы класса и меньше или равны верхней.

Число классов, на которые следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим

(тогда ряд распределения становится невыразительным и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания), но не должно быть и слишком малым (тогда свойства распределения описываются статистическим радом слишком грубо). Практика показывает, что при достаточно большом числе наблюдений рационально выбирать 10...20 классов. Ши- рина классов (длина интервалов) может быть как одинаковой, так и различной. Проще брать ее одинаковой. В этом случае ширина класса подсчитывается по формуле

xi; xi +1

= (x max - x min) / k, (5.1)

где xi, xi+1 — границы i-го класса; xmax, хmin — максимальное и минимальное значения; k — число классов.

При формировании данных о случайных величинах, распределенных крайне неравномерно, более удобно выбирать в области наибольшей плотности распределения ширину классов более узкую, чем в области малой плотности. В случае неодинаковой ширины классов удобнее пользоваться не абсолютной величиной mi, а относительной, равной отношению частоты mi приходящейся на i-й класс или i-е значение параметра, к общему числу наблюдений n:

wi=mi /n. (5.2)

Эту относительную величину называют относительной частотой или частостью.

Нетрудно заметить, что сумма частостей всех интервалов равна единице, или 100%.

Если заранее подготовить бланки в виде табл. 4.2 и, производя измерения, вести ее заполнение, заранее выбрав классы (интервалы), то легко узнать состояние производства и качество произведенных за день изделий. Такие таблицы обычно называют контрольными листами. Анализ

производства по контрольному листу, являющемуся одним из семи инструментов качества,— основа аналитической работы; он несет большой объем информации.

Приведенное в табл. 5.1 распределение напряжения имеет 14 интервалов, каждый из которых равен 1 вольту. Если число интервалов сравнительно велико, то можно уменьшить число интервалов. Для этого объединим по три значения показателя качества так, чтобы получились классы шириной 3 В. Способы такого объединения показаны в табл. 5.1. Как видно из таблицы, при втором и третьем способах к числу 179 подключаются соответственно еще одно или два значения.

Таблица 5.1

Способы объединения наблюдаемых значений показателей качества

Способ 1	Способ 2	Способ 3
середина интервала	mi	середина интервала	mi	середина интервала	mi
179ü 180ï 180 ý 181ï þ 182ü 183ï 183 ý 184ï þ и т.д.		178ü 179ï 179 ý 180ï þ 181ü 182ï 182 ý 183ï þ и т.д.		177ü 178ï 178 ý 179ï þ 180ü 18 ï 181 1ý 182ï þ и т.д.

Так как эти значения при измерении напряжения 80 структур не наблюдались, то их частоты равны нулю. То же самое справедливо для числа 210, замыкающего упорядоченный ряд. Если воспользоваться третьим способом, то получим интервальный ряд распределения с числом классов k =12 и шириной класса, равной 2,9 В. Такой ряд приведен в табл. 5.2.

Таблица 5.2 Интервальный ряд распределения пробивных

напряжений диэлектрических слоев 160 однотипных МОП-структур

Интервал (класс)	Середин а интерва ла (класса)	Частота mi	Относит ельная частота wi%	Накопле нная частота å mi	Относит ельная накоплё нная частота å wi %
176,5...179,4			0,6		0,6
179.5...182.4			1,9		2,5
182,5... 185,4			3,1		5,6
185,5...188,4			13,1		18,1
188,5...191,4			10,0		28,7
191,5...194,4			18,1		46,8
194,5...197,4			19,4		66,2
197,5..200.4			13,1		79,3
200,5...203,4			11,4		90,7
203,5...206,4			5,6		96,3
206,5...209,4			3,1		99,4
209,5...212,4			0,6		100,0

6. Графические методы представления статистического ряда

Для наглядного представления тенденции изменения наблюдаемых значений параметра качества применяют графическое изображение статистического материала. Наиболее распространенными графиками, к которым прибегают при анализе и контроле качества, шлются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая, представляющая в совокупности один из семи инструментов универсального контроля качества UQC — графики.

Риc. 6.1. Полигон частот

Рис. 6.2. Гистограмма частот

Полигоны, как правило, применяют для отображения дискретных изменений значений параметра, но они могут использоваться при непрерывных (интервальных) изменениях. В этом случае ординаты, пропорциональные частотам

интервалов, восставляются перпендикулярно оси абсцисс в точках, соответствующих серединам данных интервалов. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Для замыкания кривой крайние ординаты соединяются с близлежащей серединой интервала, в которой частота равна нулю, Пример изображения значений пробивного напряжения, взятых из табл. 4.2, приведен на рис. 6.1 в виде полигона.

Гистограмма распределения обычно строится для интервального изменения значения параметра. Для этого на интервалах, отложенных на оси абсцисс, строят прямоугольники (столбики), высоты которых пропорциональны частотам интервалов. Гистограмма интервального ряда изображена на рис. 6.2, где по оси ординат отложены абсолютные значения частот.

Заметим, что площадь, ограниченная полигоном и осью абсцисс, в том случае, если по оси ординат отложены значения относительных частот, также равна единице. Как видно из рис. 6.2, кривая теоретических распределений (пунктирная кривая на рис. 6.2) имеет идеальную форму, к которой стремится реальный полигон, и она играет важную роль в теоретических исследованиях. Кстати, кривая (рис. 6.2) похожа на кривую плотности распределения, которую называют кривой нор- мального распределения. Для выяснения того, соответствует ли данное распределение результатов измерения нормальному распределению, используют специальную вероятностную бумагу, называемую нормальной вероятностной бумагой. Представление данных по такой бумаге, осуществляется следующим способом. На основе полученных в результате измерения параметров качества значений абсолютных частот mt или соответствующих частостей подсчитывают накопленные частоты (частости), подобные приведенным в табл. 5.2. Накопленная частота (частость) каждого значения параметра качества получается суммированием всех частот (частостей), предшествующих значениям параметра. График накопленных частот представляет собой кумулятивную кривую

(кумуляту). Часто ее называют интегральной кривой. Кумулятивная кривая строится как для дискретного, так и для непрерывного изменения значений параметра. При этом следует отметить, что накопленные частоты (частости) интервального ряда относятся не к серединам интервалов, а к верхним границам каждого из них. Высота последней ординаты соответствует объему наблюдений всего ряда, или 100%. Зависимость на рис. 6.3 представляет собой полигон, построенный на основе таблиц накопленных частот, и носит название накопленного полигона (рис, 6.3), а ломаная кривая представляет собой кумулятивную кривую. (Обратите внимание, как в данном случае соединены отрезки ломаной). Кумулятивная кривая имеет более плавный характер изменения, чем гистограмма или полигон частот, ибо накопление приводит к сглаживанию.

Для построения кумулятивной кривой по данным выборки табл. 4.1, контрольный лист которой в форме Б представлен в табл. 4.3, отложим по оси абсцисс 14 значений параметра качества: 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198,

199, 200, 201, 202, 203 вольта (рис. 6.3), а по оси ординат 80

значений от 0 до 80 через каждые 5 значений: 5, 10, 15, 20, 25,

30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, т.е. столько сколько изделий в выборке. Построив оси координат, наносим сетку (рис. 6.3). Далее в столбике со значением 190 отложим горизонтальную черту на высоте, равной 1, т.е. столько раз повторяется значение параметра в 190 вольт. Затем в столбике со значением 191 отложим горизонтальную черту на высоте, равной 2. Цифра 2 получается как сумма числа повторений 191 и числа повторений 190. Далее в столбике со значением 192, отложим горизонтальную черту на высоте 4 единицы. Цифра 4 получается как сумма числа повторений значений 192 (2 значения) и предыдущего значения (2 значения). Затем отложим горизонтальную черту в столбике со значением 193 на высоте 7 единиц. Цифра 7 получается как сумма числа повторений значения 193 (3 значения) и предыдущего

значения, равного 4 единицам. Дальше, отложим горизонтальную черточку в столбике со значением 194 на высоте 13 единиц. Эта цифра 13 получается как сумма числа повторений значений 194 (6 единиц) и предыдущего значения, равного 7 единицам. Затем, отложим горизонтальную черточку в столбике со значением 195 на высоте 25 единиц. Эта цифра 25 получается, как сумма числа повторений значений 195 (12 раз) и предыдущего значения, равного 13 единицам. Аналогичным образом, продолжаем откладывать горизонтальные черточки для столбиков со значениями 196, 197, 198, 199, 200 и так далее до 203. Горизонтальная черточка в столбике со значением 202 будет на высоте 79 единиц, а со значением 203 единицы- на высоте 80 единиц.

åm i повторений

190 192 194 196 198 200 202 X, в

Рис. 6.3. Кумулятивная кривая

Следует отметить, что кумулятивная кривая в начале и в конце графика нарастает медленнее (угол наклона ближе к горизонтальному) т.к. прирост значений в начале и в конце гистограммы мал. А в центральной части кумулятивной кривой прирост значений большой, поэтому кумулятивная кривая идет круче.

7. Численные методы представления статистического ряда

Графические методы представления однородной совокупности, давая более наглядную картину характера распределения параметра качества, чем таблицы, в то же время не могут быть применены для достоверной оценки качества продукции по результатам контрольной выборки. В этом случае удобно представить статистический материал не графически, а числовыми значениями, которые до некоторой степени отражают существенные характеристики стати- стического ряда — характеристики положения и рассеивания случайной величины.

Важнейшей характеристикой положения случайной величины является средняя арифметическая величина наблюдаемых значений параметра качества (или просто средняя), которую для характеристики выборки будем называть, выборочной средней арифметической и обозначать

через x. Если в результате п измерений получены[1], значения x1,x2,..., хn, то

1 1 n

x = × (x 1+ x 2 +...+ xn) = × å

n n i = 1

xi.

(7.1)

Пример 1. Если взять пять первых значений пробивного напряжения, т.е. 179,180,181,182, 183, то в этом

n

примере n=5 и

арифметическая

å xi = 905. Для данной выборки средняя

i =1

x = 905: 5 = 181 B.

В случае статистического ряда (когда значению параметра соответствует какая-либо частота) средняя арифметическая величина вычисляется по формуле:

где

k

n = å mi.

i =1

1

x = ×

n

k

å

i =1

ximi,

(7.2)

В этом случае среднюю называют средней взвешенной.

Пример 2. Для упорядоченного ряда, число интервалов k=32:

x = 1 ×(179 ×1+180×1+...+ 209 × 2 + 210 ×1) = 31196 = 194.975 B.

160 160

Аналогично вычисляется средняя арифметическая интервального ряда с той только разницей, что в качестве значения параметра следует принимать середины интервалов:

x = 1 × (178×1+181×3 +...+ 208× 5 + 211×1) = 31192= 194.95 B.

160 160

Вследствие различной ширины интервалов рассматриваемых рядов обе средние частично не совпадают.

Следует подчеркнуть, что средняя только в том случае является обобщающей характеристикой, когда она применяется к однородной совокупности статистического материала,

Кроме важнейшей характеристики положения — средней — при анализе и контроле качества приходится встречаться и с другими характеристиками положения, в частности медианой и модой случайной величины.

Если полученные при измерениях значения расположить в возрастающем или убывающем порядке, то медианой будет значение Me, занимающее серединное значение в ряду. Таким образом, медиана — это значение

параметра, которое делит упорядоченный ряд на две равные по объему группы. При нечетном числе измерений, т. е. при n

=2i+ 1, значение параметра для случая i+1 будет медианным. При четном числе измерений (2i) медианой является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ряда.

Таким образом, формулы для вычисления медианы имеют следующий вид:

Me = xi +1

для случая нечетного числа измерений;

Me = (xi + xi +1) / 2

для случая четного числа измерений.

(7.3)

(7.4)

Пример 3. Возьмём пять первых значений пробивного напряжения (х1=179, х2=180, х3=181, х4=182, х5=183),т.е. нечётное число измерений, расположенных в возрастающем порядке. Находим для зтих пяти значений медиану: (2i+1)=5, откуда 2i=4, i=2. По формуле (2.5) получим

Me = xi =1 = x 2+1 = x 3 = 181 B.

Если взять только четыре первых значения пробивного напряжения (х1=179,х2=180,х3=181,х4=182), т. e. четное число измерений, то 2i=4, i=2. По формуле (7.4),

Me = xi + xi +1 = x 2 + x 3 = 180 + 181 = 180.5 B.

2 2 2

Значение медианы легко определяется графически с помощью кумулятивной кривой (см. рис. 6.3). Так как по оси ординат отложены накопленные частоты, то, разделив отрезок ординаты, соответствующий 100% наблюдений, пополам и восстановив из его середины перпендикуляр, мы получим медиану геометрически как абсциссу точки пересечения перпендикуляра с кумулятивной кривой.

Модой случайной величины называется значение параметра, которое наиболее часто встречается в данном ряду. Условимся обозначать моду через Мо. Для дискретного ряда

мода определяется по частотам наблюдаемых значений параметра качества и соответствуют значению параметра с наибольшей частотой.

В случае непрерывного распределения с равными интервалами модальный (т.е. содержащий моду) интервал определяется по наибольшей частоте; в случае неравных интервалов - по наибольшей плотности. Плотность вычисляется как отношение частоты к продолжительности интервала.

Средние величины, характеризуя однородную совокупность одним числом, не учитывают рассеивание наблюдаемых значений параметра качества. Для отображения рассеивания в математической статистике применяют ряд характеристик. Самый простой из них является размах R. Размах представляет собой величину неустойчивую, зависящую от случайных обстоятельств и поэтому применяемую, как правило, в качестве приблизительной оценке рассеивания. Однако, как будет показано ниже, размах бывает очень удобно применять в контрольных картах. Размах R сравнительно легко вычисляется как разность между наибольшим и наименьшем значениями ряда наблюдений:

R = x max - x min (7.5)

Другая статистическая характеристика рассеивания наблюдаемых значений показывает, как тесно группируются отдельные значения вокруг средней арифметической или как они рассеиваются вокруг этой средней. Так как алгебраическая сумма отклонения отдельных значений xi от средней арифметической x равна нулю и непригодна в качестве меры рассеивания, за меру рассеивания принимают сумму квадратов отклонений отдельных значений от средней арифметической, делённую на число наблюдений, уменьшенное на единицу. Эту

меру называют выборочной дисперсией и обозначают через s2. Для простой статистической совокупности[1-4],

()

n 2

å xi - x

s 2 = i =1

n -1

(7.6)

При наличии частот mi

n 2

å(xi - x)

· mi

где

.

k

n = å mi

i =1

s 2 = i =1

n -1

(7.7)

Вместо выборочной дисперсии s2 часто применяют выборочное стандартное отклонение s. Оно имеет ту же

размерность, что и средняя арифметическая x. Выборочное стандартное отклонение для простой статистической совокупности и при наличии частот определяется соответственно по следующим формулам:

s =;

(7.8)

s =;

(7.9)

Отношение стандартного отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах, называют коэффициентом вариации V:

V = s ×100

x

(7.10)

Коэффициент вариации, который также используется как статистическая характеристика рассеивания, показывает относительное колебание отдельных значений около средней арифметической. Коэффициент вариации, являясь безразмерным, удобен для сравнения рассеивания случайной величины с её средним значением.

ЛЕКЦИЯ 3

Дата добавления: 2015-07-07