Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл

§1. Двойной интеграл

1.Определение двойного интеграла

Для квадрируемой области D ее площадь будем обозначать mD. Пусть f(x,y) ограниченная функция, определенная в квадрируемой области D. Разобьем область D на части непрерывными линиями так, чтобы каждая из полученных таким образом подобластей D_i была квадрируема.

Полученный набор областей D_k, k=0,1,…,n - 1 называется разбиением области D={D_k}. В каждой из подобластей выберем точку M_k=(x_k,h_k)ÎD_k и обозначим этот набор точек X ={M_k}. Интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

(1)

Величина l(D)= dD_k, где dD_k – диаметр множества D_k, называется характеристикой разбиения D. Условие {"k: M_kÎD_k} мы будем обозначать XÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек) называется двойным интегралом от функции f на D и обозначается

= .

Для интегралов используют также обозначения

.

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:из условия (l(D)<d, XÎD) следует |s(f,D, X) - J|<e.

Функция, для которой существует интеграл, называется интегрируемой (по Риману) на D.

Для доказательства свойств интеграла будет полезно следующее замечание. Если функция интегрируема на данном множестве, то можно выбрать какую-нибудь последовательность разбиений D^m этого множества с характеристикой, стремящейся к нулю l(D^m)®0 и c некоторым набором промежуточных точек X^mÎD^m для каждого из разбиений. Тогда для числовой последовательности s^m=s(f,D ^m,X ^m) будет выполнено равенство

= .

Такую последовательность в дальнейшем будем называть сходящейся последовательностью интегральных сумм.

Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена. Доказательство проводится, как для функции одного переменного. В случае неограниченности функции на D найдется последовательность точек {P ^j} из области D, на которой предел функции будет равен бесконечности. Тогда для любой интегральной суммы выбором одной из промежуточных точек можно сделать соответствующее слагаемое этой суммы сколь угодно большим, не изменяя остальных слагаемых. Для этого следует выбирать в качестве промежуточной точки этого слагаемого члены последовательности {P ^j}. Таким образом, условие стремления к нулю характеристики разбиения не может гарантировать сходимость интегральных сумм. На рисунке таким слагаемым интегральной суммы будет , где в качестве P можно выбирать P_j, начиная с номера 5.

Таким образом, интегральную сумму

можно сделать сколь угодно большой выбором подходящего P_m (m=5,6,…).

2.Геометрический смысл двойного интеграла.

Интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров, основанием которых служат области D_k и высотой f(M_k). При достаточно мелком разбиении D этот суммарный объем естественно считать приближенно равным объему области, ограниченной графиком функции (поверхность z=f(x,y), считаем, что f >0) и плоскостью z=0. Точным значением объема указанной области является интеграл .

§2. Суммы Дарбу и их свойства

1.Определения.

Пусть функция f(x,y) определена на D и D={D_k} разбиение этой области. Нижней суммой Дарбу называется сумма

s(f,D)= , m_k = .

Верхней суммой Дарбу называется сумма

S(f,D)= , M_k = .

2.Свойства сумм Дарбу.

Определение. Если разбиение D₂ получено из разбиения D₁ добавлением некоторого числа новых линий, то говорят, что разбиение D₂ следует за разбиением D₁ (или D₂ является более мелким, чем D₁), при этом пишут D₁ D₂.

1) Для любого разбиения D и набора промежуточных точек XÎD имеют место соотношения

s(f,D) £ s(f,D, X) £ S(f,D), s(f,D) = s(f,D, X), S(f,D) = s(f,D, X).

Это следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу.

2) Если D₁ D₂ два разбиения D, то

s(f,D₁) £ s(f,D₂), S(f,D₂) £ S(f,D₁).

Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрастать, а верхние суммы могут только уменьшаться. Это утверждение достаточно доказать для случая, когда второе разбиение получено из первого разбиением некоторого множества D¢_k первого разбиения D₁ на два квадрируемых множества D¢¢_k, D¢¢_k+1.

Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Введем обозначения

, , . Нижняя грань по всему множеству D¢_k будет меньше или равна, чем нижняягрань по части этого множества, поэтому m¢_k£ m¢¢_k, m¢_k£ m¢¢_k+1. Для нижних сумм Дарбу можно записать

s(f,D₁)=m¢_k mD¢_k +...,

s(f,D₂) = m¢¢_k mD¢¢_k + m¢¢_k+1 mD¢¢_k+1 +...

В каждой из сумм показаны только слагаемые, которыми эти суммы отличаются. Таким образом, разность сумм

s(f,D₂) - s(f,D₁) = m¢¢_k mD¢¢_k + m¢¢_k+1 mD¢¢_k+1 - m¢_k mD¢_k = m¢¢_k mD¢¢_k + m¢¢_k+1 mD¢¢_k+1 -

- m¢_k (mD¢¢_k +mD¢¢_k+1) = (m¢¢_k - m¢_k) mD¢¢_k +(m¢¢_k+1 - m¢_k) mD¢¢_k+1 ³ 0.

Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.

3) Для любых разбиений D₁ , D₂ данного отрезка справедливо неравенство

s(f,D₁) £ S(f,D₂).

Обозначим через D₃ = D₁ ÈD₂ разбиение, образованное всеми линиями двух исходных разбиений. Очевидно D₁ D₃, D₂ D₃. Тогда, как это следует из предыдущего свойства

s(f,D₁) £ s(f,D₃) £ S(f,D₃) £ S(f,D₂),

откуда и следует доказываемое неравенство.

§3. Критерий интегрируемости

1.Нижний и верхний интегралы.

Определение. Пусть D={D_k}. Колебанием функции f(x) на множестве D_k будем называть величину

w_k (f) = sup |f(P) – f(Q)| = M_k – m_k, где точная верхняя грань берется по всевозможным P, Q из D_k, m_k = , M_k = .

отметим, что

S(f,D) - s(f,D) = .

Определение. Нижним интегралом называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу = sup s(f,D), где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям области D. Верхний интеграл определяется, как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу = inf S(f,D),D), где нижняя грань берется по всевозможным разбиениям области D.

Отметим, что для ограниченной функции существует, как нижний, так и верхний интегралы. Это следует из того, что множество значений нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например, значением любой верхней суммы Дарбу. Тоже самое можно сказать об ограниченности снизу множества значений верхних сумм Дарбу.

Теорема. Для любого разбиения D данного отрезка справедливы неравенства

s(f,D) £ £ £ S(f,D).

Доказательство. Не очевидным является только неравенство £ . Предположим противное, т.е., что < . Выберем непересекающиеся e окрестности точек , , +e < - e. По определениям точных граней найдутся два разбиения D₁ , D₂ такие, что S(f,D₁)< +e < - e < s(f,D₂), что противоречит свойству сумм Дарбу s(f,D₂) £ S(f,D₁).

2.Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу.

Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на D, необходимо и достаточно, чтобы разность сумм Дарбу

S(f,D) - s(f,D) стремилась к 0 при l(D)®0.

Т. е.

$ Û "e>0$d>0"D,l(D)<d: S(f,D) - s(f,D)<e.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция интегрируема и J= . Возьмем какое-либо e >0 для него $d>0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство

|J - s(f,D,X)|<e/3 ( независимо от выбора XÎD).

так как s(f,D) = s(f,D, X), S(f,D) = s(f,D, X), то

|S(f,D) - J|£ e /3, |J - s(f,D)|£ e /3,

тогда

|S(f,D) - s(f,D)|=|S(f,D) - J + J - s(f,D)| £ |S(f,D) - J| +| J - s(f,D)| £ <e.

Достаточность. Разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Как уже отмечалось, нижний и верхний интегралы существуют и

s(f,D) £ £ £ S(f,D), = sup s(f,D), = inf S(f,D).

Так как (S(f,D) - s(f,D)) = 0, то = . Положим J = = , при этом |s (f,D,x) – J | £ S(f,D) - s(f,D). Откуда и следует требуемое утверждение.

§4. Классы интегрируемых функций

Теорема 1. Всякая непрерывная на квадрируемом компакте D функция интегрируема на этом D.

Вопрос о том, может ли существовать не квадрируемый компакт, здесь не обсуждается.

Доказательство. Как ранее отмечалось для любого разбиения D={D_k}

S(f,D) - s(f,D) = , w_k (f) = M_k – m_k.

По теореме Кантора для " e > 0 $ d > 0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство w_k(f) < . Тогда

S(f,D) - s(f,D) = < =e.

Теорема 2. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число точек или линий разрывов интегрируема.

Без доказательства.

Теорема 3. Если f интегрируема на D и P – прямоугольник, содержащий D, то функция F(M)= интегрируема на P и

= .

Доказательство. Так как функция интегрируема на D, то она ограничена |f|£ M. Пусть e₀ >0. Так как область D квадрируема, то существует окрестность U (открытое множество)ее границы ¶D c площадью m(U) < e₀, ¶DÌ U. Можно показать, что существует e раздутие границы ¶D, лежащее внутри U. Это e раздутие границы ¶D, представляющее собой объединение e окрестностей всех точек границы, обозначим через U_e. Так как функция интегрируема на D, то существует d такое, что

S(f,D_D) - s(f,D_D) < e₀ при l(D_D)<d, (1)

где D_D – разбиение области D. Пусть разбиение D_P области P выбрано с характеристикой l(D_P)< min(d,e). Разобьем разность сумм Дарбу на три суммы

S(F,D_P)-s(F,D_P)= = å¢ +墢 +墢¢.

В первой сумме å¢ суммирование распространяется на слагаемые, для которых множества разбиения P_k пересекаются с границей ¶D. Ко второй сумме 墢 относятся слагаемые, для которых P_k содержатся в D, за исключением слагаемых, попавших в первую сумму. В третьей сумме 墢¢ содержаться все остальные слагаемые. Отметим, что в третью сумму попадают только слагаемые, равные нулю. Тогда можно сделать следующие оценки для этих сумм.

墢 < e₀ в силу (1).

墢¢ = 0, так как в области, где проходит суммирование F=0.

å¢ < 2M墢¢mP_k <2Mm(U) < 2M e₀.

Из этих оценок следует выполнение условий критерия интегрируемости для функции F на P.

Для доказательства равенства = следует выбрать сходящиеся последовательности интегральных сумм для F и P так, чтобы в число линий разбиения входила граница области D, а промежуточные точки выбирать внутренними для каждой из подобластей разбиения. В этом случае для областей разбинения P_k, не попадающих в D, будет выполнено условие F(M_k)=0, соответствующие слагаемые F(M_k)mP_k будут равны нулюиинтегральная сумма по множеству P совпадет с интегральной суммой по множеству D

.

§5. Свойства определенного интеграла

1.Простейшие свойства

1)

2) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x,y) + g(x,y))dxdy = f(x,y)dxdy + g(x,y)dxdy.

Доказательство. Пусть w¢_k колебание функции f на D_k, w¢¢_k колебание функции g на D_k, w_k колебание функции f+g на D_k. Тогда

w_k =sup|f(P¢)+g(P¢) – f(Q¢) – g(Q¢)|£ sup(|f(P¢)– f(Q¢) |+| g(P¢)– g(Q¢)|)£

£ sup|f(P¢) - f(Q¢)|+ sup|g(P¢) – g(Q¢)|=w¢_k + w¢¢_k. Отсюда

S(f+g,D) – s(f+g,D)=Sw_k mD_k £ Sw¢_k mD _{k +} Sw¢¢_k mD _k.

Откуда следует интегрируемость суммы. Далее для какой-нибудь сходящейся последовательности интегральных сумм будет выполнено равенство

s^m(f+g) = s^m(f) + s^m(g).

Переходя к пределу при m®¥ получим требуемое равенство.

3) Если f интегрируема на D, то cf(x) также интегрируема и

c f(x,y)dxdy =c f(x,y)dxdy.

Утверждение следует из соотношения s(cf,D,X)= cs(f,D, X) для любых интегральных сумм.

4) Если f интегрируема на D, то |f| также интегрируема и

| f(x,y)dxdy | £ | f(x,y)|dxdy.

Доказательство. Пусть w¢_k колебание функции | f | на D_k, а w_k колебание функции f на D_k. Тогда

w¢_k =sup||f(P¢)| –| f(Q¢)||£ sup|f(P¢)– f(Q¢) |= w_k.

Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных сумм

|s^m(f)|£ s^m(|f|).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое неравенство.

5) Если f, g интегрируемы на D, то fg также интегрируема.

Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x,y)|£ M, |g(x,y)|£ M. Пусть w¢_k колебание функции f на D_k, w¢¢_k колебание функции g на D_k, а w_k колебание функции f g на D_k. Выполнено соотношение

f(P)g(P) – f(Q)g(Q) = f(P)g(P) – f(P)g(Q) + f(P)g(Q) – f(Q)g(Q) =

= f(P)(g(P) –g(Q)) + g(Q)(f(P) – f(Q)). Откуда следует неравенство

w_k £ Mw¢¢_k + Mw¢_k и, следовательно, функция fg интегрируема.

6) Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

Доказательство. Для одной точки. Обозначим P₀ точка, в которой f(P₀)¹0.

Для заданного e >0 рассмотрим e-окрестность U_e точки P₀. Если характеристика разбиения l(D)< e, то для любой интегральной суммы будет справедлива оценка . Это следует из того, что все отличные от нуля слагаемые суммы попадут в U_e.

Следствие. Если f₁ интегрируема, и f₂ отлична от f₁ на конечном числе точек, то f₂ также интегрируема и

f₁(x,y)dxdy = f₂(x,y)dxdy.

Доказательство. f₂ = f₁ + (f₂ – f₁).

Замечание. Можно доказать, что справедливо утверждение: Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек или линий, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

7) Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D, то

f(x,y) dxdy £ g(x,y) dxdy.

Для сходящейся последовательности интегральных сумм

s^m(f)£ s^m(g).

8) Если mD = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено

f(x,y) dxdy=0.

Все слагаемые в любой интегральной сумме будут равны нулю.

2. Теоремы о среднем, аддитивность по множеству.

Теорема 1. Если m £ f(x,y) £ M на D, то $ cÎ[m, M]:

= c mD.

Доказательство. Для случая mD=0 утверждение справедливо согласно свойству 8). Пусть mD¹0. Тогда

m mD = dxdy £ £ dxdy = M mD. Откуда

и c= .

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD:

dxdy = f(x)mD.

Теорема 2. Если f – интегрируема на D и D=D₁ÈD₂ (разбиение произведено некоторой линией), то f(x) – интегрируема на D₁ и D₂ и

dxdy = dxdy + dxdy.

Доказательство. Пусть D₁ - разбиение D₁. Дополним это разбиение до разбиения D всего D так, чтобы характеристика разбиения не изменилась l(D) = l(D₁). В этом случае S(f,D₁) –s(f,D₁) £ S(f,D) – s(f,D), откудаследует интегрируемость на D₁. Аналогично доказывается интегрируемость на области D₂. Если существование интегралов доказано, то для доказательства требуемого равенства следует выбрать сходящиеся последовательности интегральных сумм s(f, ,X ^m), s(f, , X ^m) для D₁ и D₂ и их объединение D^m = + . Для таких сумм получим

s(f,D^m, X ^m) = s(f, , X ^m) + s(f, , X ^m).

Переходя к пределу в последнем равенстве, получим требуемое соотношение.

Теорема (Неравенство Коши-Буняковского).

Для интегрируемых на D функций f и g справедливо неравенство

.

Доказательство.

0£ = + 2 + l^{2 .}

Так как это справедливо для любых l, то - £ 0, откуда и следует требуемое неравенство.

§6. Вычисление двойных интегралов

1.Интегрирование по прямоугольнику.

Рассмотрим прямоугольник D=[a,b]´[c,d]={(x,y)|a £ x £ b, c £ y £ d }.

Теорема. Если f интегрируема на D и для "x существует =J(x), то существует и и выполнено равенство

= = .

Доказательство. Для заданных разбиений D_x={a=x₀<…<x_n=b}, D_y={c=y₀<…<y_m=d} рассмотрим разбиение D ={ D_ij} области D, где D_ij=[x_i,x_i+1]´ [y_j, y_j+1],

введем обозначения m_ij= , M_ij= , X={(x_i, h_j)}, x_iÎ[x_i, x_i+1], h_jÎ[y_j, y_j+1], Dx_i=x_i+1 – x_i, Dy_j=y_j+1-y_j. Тогда будут выполнены неравенства

m_ij £ f(x,y) £ M_ij для (x,y)ÎD_ij (1)

m_ij Dy_j £ £ M_ij Dy_j (2)

£ £ (3)

Умножая неравенства (3) на Dx_i и суммируя, получим

m_ij Dx_i Dy_j £ Dx_i £ M_ij Dx_i Dy_j.

При l(D)®0 суммы слева и справа (суммы Дарбу) будут сходиться к интегралу , средняя сумма представляет собой интегральную сумму для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Замечание. Аналогичное утверждение получается, если поменять местами x,y.

Если f интегрируема на D и для "y существует =I(y), то существует и и выполнено равенство

= = .

Интегралы , называются повторными.

Следствие (перемена порядка интегрирования). Если f интегрируема на D и для "y существует =I(y), "x существует =J(x), то существуют , и выполнено равенство

= = .

2. Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию

Рассмотрим область D={(x,y): y₁(x) £ y £ y₂(x), xÎ[a,b]}, где y₁(x), y₂(x) – непрерывные функции на [a,b]. Области такого вида будем называть областями типа A. Области вида D={(x,y): x₁(y) £ x £ x₂(y),yÎ[c,d]}, где x₁(y), x₂(y) – непрерывные функции на [c,d] называются областями типа B.

Теорема. Если для области типа A существуют и для "xÎ[a,b] существует , то существует и

= .

Доказательство. Пусть D={(x,y): y₁(x) £ y £ y₂(x), xÎ[a,b]}, где y₁(x), y₂(x) – непрерывные функции на [a,b]. Рассмотрим функцию

f ^*(x,y) = ,

где R=[A,B]´[C,E] прямоугольник, содержащий область D. Для функции f ^* выполнены условия предыдущей теоремы, поэтому

= .

Далее = = . По теореме 3 из параграфа 4 выполнено равенство = откуда и следует требуемое равенство. Аналогично доказывается

Теорема. Если для области типа B существуют и "yÎ[c,d] существует , то существует и

= .

Примеры: Расставить пределы интегрирования в интеграле в том и другом порядке.

1. D={(x,y):0 £ x £ 1, x^2£ y£ 1+(x-1)^2}	2.D={(x,y):0 £ x £ 1, x^2-1£ y£ cos().

§7. Замена переменных в двойном интеграле

1. Отображение плоских областей. Криволинейные координаты.

Рассмотрим два экземпляра плоскости, плоскость переменных x, y и область D в этой плоскости, плоскость переменных x, h и область S в этой плоскости

Пусть имеется взаимно однозначное отображение области D на S

(1),

(2).

Будем предполагать, что отображения (1), (2) непрерывно дифференцируемы и якобианы этих отображений

¹0, ¹0.

Отметим, что

=1.

В области S рассмотрим некоторую кусочно-гладкую кривую

tÎ[a,b].

Ее образ в D имеет параметризацию

tÎ[a,b]

и будет также кусочно-гладкой кривой. Действительно,

(3).

Если (x¢,h¢)¹(0,0), то и (x¢,y¢)¹(0,0). Если предположить противное, то система (3) с не вырожденной матрицей коэффициентов должна будет иметь только тривиальное решение, что противоречит условию (x¢,h¢)¹(0,0).

Определение. Кривая, составленная из точек области D вида

или

называется координатной линией

Неявное задание этой линии имеет вид h(x,y)=h₀ (соответственно x(x,y)=x₀).

Определение. Числа x₀, h₀ из области S плоскости (x, h) определяющие положение точки (x₀,y₀) из области D плоскости (x,y) называются криволинейными координатами точки (x₀,y₀). Наоборот, на (x₀,y₀) можно смотреть, как на криволинейные координаты точки (x₀, h₀).

Фиксируя значения x или h на плоскости (x,h) можно получить два семейства координатных линий. В области D появляется криволинейная координатная сетка. При сделанных предположениях две линии одного семейства не пересекаются между собой и, через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства

2. Изменение площади при отображениях.

Рассмотрим отображение

и его обратное

удовлетворяющее условиям предыдущего пункта и разбиение области D линиями, порожденными линиями x=const, h=const плоскости x, h

Рассмотрим прямоугольник x, x +Dx,, h, h +Dh в плоскости x, h и его образ в плоскости x, y.

Обозначим для краткости x=x(x,h), y=y(x,h), тогда

x(x +Dx,h)= x + Dx + o(r), y(x +Dx,h)= y + Dx + o(r),

x(x,h +Dh)= x + Dh + o(r), y(x,h +Dh)= y + Dh + o(r),

x(x +Dx, h +Dh)= x + Dx + Dh + o(r), y(x +Dx, h +Dh)= y + Dx + Dh + o(r).

Для вычисления площади фигуры с вершинами

A(x,y), B(x(x +Dx,h), y(x +Dx,h)), C(x(x +Dx, h +Dh), y(x +Dx, h +Dh)), E(x(x,h +Dh), y(x,h +Dh))

рассмотрим параллелограмм A=A¢, B¢, C¢, E¢ с координатами вершин

A¢=A=(x,y), B¢=(x + Dx, y + Dx), C¢=(x + Dx + Dh, y + Dx + Dh),

E¢=(x + Dh, y + Dh).

Этот параллелограмм построен на векторах A¢B¢, A¢E¢,

a=A¢B¢ = ( Dx, Dx), b=A¢E¢ = ( Dh, Dh). Поэтому его площадь равна

½ [a,b]½= =DxDh .

Вершины A,A¢, B,B¢, C,C¢, E,E¢ отличаются на o(r). Можно показать, что в этом случае площади будут отличаться на o(r²)

m(A¢,B¢,C¢,E¢)= DxDh + o(r²).

Отсюда, в свою очередь, следует, что площадь области D будет равна

mD= = (4).

Докажем последнее равенство для случая, когда область S представляет собой квадрат [a,b]´[a,b]

Разобьем S на равные части линиями x=x_i, h=h_j.

В этом случае Dx_i=x_i+1 - x_i = (b - a)/n, Dh_j=h_j+1 - h_j = (b - a)/n, r= =(b - a)/n, mD= .

Можно показать, что последнее слагаемое является бесконечно малой при n®¥, откуда и следует равенство (4).

Замечание. Выражение dxdy иногда называют элементом площади в плоскости x,y, а выражение dxdh - элементом площади в плоскости x, h. Равенство (4) позволяет говорить, что модуль якобиана является коэффициентом искажения площади при данном отображении

dxdy = dxdh.

Из равенства mD= следует, что в любой точке области M₀=(x₀,h₀,z₀)

= .

3.Примеры отображений.

Экспонента

, S=[-3,1]´[0,p]

Функция Жуковского

,S=(в полярных кординатах) [0,p]´[0.25,0.9]

Дробно линейное отображение

,S= [0.25,1]´[0,1]

4. Замена переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим отображение

и его обратное ,

непрерывно дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан в области D.

Лемма. Если функция f(x, y) интегрируема на D, то функция F(x, h)=f(x(x, h),y(x, h)) интегрируема на S.

Доказательство. Любое разбиение области D порождает разбиение области S и наоборот. Таким образом связанные между собой разбиения, будем обозначать D_D={D_k}, D_S={S_k}. Здесь D_k и S_k – подобласти, переходящие друг в друга при заданном отображении.

Для разбиений D_D={D_k}, D_S={S_k} можно выписать соотношение между колебаниями функций

w_k(F)= = =w_k(f).

Далее = .

Поэтому

S(F, D_S)-s(F, D_S)= = £ С =C(S(f,D_D)-s(f, D_D)).

Откуда и следует интегрируемость функции F(x, h) на S.

Теорема. Пусть функция f интегрируема в D, тогда

= .

Доказательство. Согласно доказанной лемме интеграл справа существует. Выберем некоторое разбиение области S на подобласти S_i и соответствующее ему разбиение области D на множества D_i. Тогда по теореме о среднем для каждого i будет существовать точка (x_i, h_i), для которой

mD_i = = = .

Для этих точек (x_j,h_j) и соответствующих им точек (x_j,y_j) можно выписать интегральные суммы

.

При переходе к пределу при измельчении разбиения левая и правая части этого равенства будут сходиться к интегралам

, ,

соответственно.

Пример 1. Рассмотреть область D={jÎ[a,b],rÎ[r₁,r₂]} и сделать замену в интеграле , используя полярные координаты.

Пример 2. Сделать замену переменных u=x+y, v=y – x в интеграле для области D={|x|+|y|£ 1}.

Пример 3 (3959). Сделать замену переменных x=u cos⁴v, y= u sin⁴v в интеграле для области D, ограниченной кривыми x=0, y=0, .

Пример 4. Является ли конечной площадь области, заключенной между биссектрисой 2-4 –го координатных углов и кривой (x³+y³)²=x²+y².

Перейдем к полярным координатам

r⁶(cos³j+sin³j)²=r²,

mD= = = = = = = = = . Последний интеграл расходится.

Дата добавления: 2015-07-08