Определение уравновешивающей силы методом Н.Е. Жуковского

В тех случаях, когда нет необходимости определять давления в кинематических парах, а требуется определить уравновешивающую силу F_у или уравновешивающий момент M_у, пользуются теоремой Жуковского о жестком рычаге, основанной на принципе возможных перемещений.

Согласно этому принципу, сумма элементарных работ сил активных и сил инерции, приложенных к звеньям механизма на их возможных перемещениях, равна нулю. Звенья механизмов имеют не просто возможные, а действительные перемещения точек, движение которых определяется заданным законом движения ведущего звена. Поэтому элементарную работу сил, приложенных к точкам звеньев механизма, будем рассматривать на их действительных перемещениях.

Обозначим ₁, ₂,… _n силы активные и инерции, приложенные к звеньям механизма. dS₁, dS₂,…dS_n – проекции элементарных действительных перемещений этих точек на направление соответствующих сил. На основании принципа возможных перемещений

(4.1)

Найдем выражение элементарной работы силы на ее элементарном перемещении.

Пусть имеется звено механизма АВ, скорости точек которого известны (рис. 4.11). В точке S звена приложена сила F_i под углом φ к скорости V_s точки S. Построим для этого звена в масштабе k_V план скоростей. Повернем силу F_i на угол 90^о (в любую сторону) и перенесем ее на план скоростей в точку S. Плечо этой силы относительно полюса O_V обозначим h _i.

Рис. 4.11. Звено АВ и план скоростей звена АВ.

Работа силы F_i на ее элементарном перемещении А_i = F_i ds_i cos φ.

Поскольку , то А_i = [ F_i (O_V s k_V cos φ] dt. Из плана скоростей h_i = (O_V s)cosφ, поэтому . Здесь – момент силы F_i относительно полюса плана скоростей.

То есть . Подставив это значение работы силы в выражение (4.1) и сократив на общий множитель получим

.

Эта формула математически выражает теорему Н.Е. Жуковского, которую можно сформулировать следующим образом: если все силы, действующие на движущиеся звенья механизма, в том числе и уравновешивающую, приложить в соответствующих точках повернутого на 90^о плана скоростей, то сумма моментов всех сил относительно полюса плана скоростей будет равна нулю.

Обозначим силы, приложенные к звеньям механизма через F₁, F₂,… F_n, уравновешивающую силу через F_у. Плечи этих сил, повернутых на угол 90^о и перенесенных в одноименные точки плана скоростей, через h₁, h₂,…h_n, h_у. Тогда по теореме Н.Е. Жуковского

,

откуда

.

При определении уравновешивающей силы при помощи теоремы

Н.Е. Жуковского моменты сил, действующие на звенья, следует разложить на пары сил, приложенные в тех точках звеньев, скорости которых известны.

Пример

Для кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рис. 4.12 определить Р_у, приложенную в точке K зубчатого колеса 1.

Заданы: угловая скорость ω₁ кривошипа 1, длины кривошипа ОА и шатуна АВ, модуль m и число зубьев z₁ зубчатого колеса 1, силы тяжести шатуна АВ и ползуна В, силы инерции F _и3 и F _и2 , сила полезного сопротивления F ₃, приложенная к ползуну, а также момент М _И2 сил инерции шатуна. (Момент М _И2 действует на шатун 2 и направлен по часовой стрелке в сторону противоположную угловому ускорению ε₂.) Массой кривошипа пренебречь. Конструктивно зубчатое колесо 1 и кривошип ОА выполнено в виде одного звена.

Рис. 4.12. Кинематическая схема механизма

Решение

1. Строим план скоростей (рис. 4.13). При этом найдем скорость точки K приложения уравновешивающей силы

V_к = ω₁·l_OK,

где l_OK = .

2. Прикладываем все сила в соответствующих точках звеньев механизма. Пару сил F_{M И2} от M _И2получим из уравнения

F_{М И2} = М _И2 / l_AB.

Полученные силы F_{M И2} прикладываем в точках А и В с соблюдением направления момента M _И2. При определении направления F_у следует учесть, что угол зацепления α_w равен 20⁰.

3. Переносим все силы с плана механизма, включая F_у, в соответствующие точки плана скоростей, предварительно повернув их на 90⁰ по направлению движения часовой стрелки (рис. 4.13).

4. Составляем уравнение моментов относительно полюса плана скоростей

.

Рис. 4.13. Жесткий рычаг Н.Е. Жуковского

5. Определяем уравновешивающую силу

F_y= (F ₃∙ h ₄ + F_{МИ 2}∙ h ₃ – G ₂ ∙ h ₁ – F_{И 2}∙ h ₂) / h_y.

Дата добавления: 2015-07-07