Основная теорема зацепления (теорема Виллиса)

Основная теорема зацепления устанавливает связь между геометрией сопряженных профилей в высшей паре и угловыми скоростями звеньев механизма: общая нормаль к профилям, образующим высшую пару, проведенная в точке их контакта, делит межосевое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям звеньев.

Для доказательства теоремы рассмотрим пару сопряженных профилей в плоском зацеплении рис. 5.2.

Рис. 5.2. К доказательству основной теоремы зацепления

Пусть звено 1 поворачиваясь относительно оси О ₁ с угловой скоростью ω₁, поворачивает звено 2 относительно оси О ₂ в направлении ω₂. Скорости точек К, принадлежащие соответственно звеньям 1 и 2 будут различны по величине и направлению:

V _{К 1} = ω₁∙(O₁K ); V _{К 2} = ω₂∙(O₂K ).

Однако, проекции этих скоростей на общую нормаль N-N к профилям, проведенную к точке К, одинаковы (в противном случае будет происходить внедрение одного профиля в другой или отрыв одного профиля от другого):

Vⁿ _{К 1} = Vⁿ _{К 2} = Vⁿ _К. (5.1)

Выполним дополнительные построения: опустим из точек O₁ и O₂ перпендикуляры на общую нормаль NN.

Тогда: V₁ = ω₁ ∙(O₁K);

Vⁿ _{К 1} = V _{К 1} ∙cosα = ω₁ ∙(O₁K)∙ cosα = ω₁ ∙(O₁A). (5.2)

По аналогии

Vⁿ _{К 2} = ω₂ ∙(O₂B). (5.3)

Подставляя (5.3), (5.2) в (5.1) получим

(O₂B)/(O₁A) = ω₁ / ω₂. (5.4)

Рассмотрим Δ O₁AP и ΔO₂BP. Они подобны. Из подобия треугольников имеем:

(О₂В)/(O₁A) =(O₂P)/(O₁P). (5.5)

Подставляя (5.5) в (5.4), в итоге получим:

(O₂P)/(O₁P) = ω₁ /ω₂. (5.6)

Т.е. теорема доказана.

Отношение угловых скоростей зубчатых колес называется передаточным отношением и обозначается u ₁₂ = ω ₁ /ω ₂.

Передаточное отношение является основной кинематической характеристикой всякой зубчатой передачи.

Точка Р пересечения общей нормали с линией центров О ₁ О ₂ называется полюсом зацепления.

Передаточное отношение может быть переменным и постоянным. В передачах с переменным передаточным отношением полюс зацепления Р занимает различные положения на межосевой линии.

Большинство передач работают при постоянном передаточном отношении, обеспечивающем минимальные динамические нагрузки в машине.

При u ₁₂ = ω ₁ /ω ₂ = const положение полюса зацепления на межосевой линии должно быть неизменно.

Точка Р единственная точка, в которой линейные скорости звеньев 1 и 2 одинаковы по величине и направлению. Следовательно, полюс зацепления Р является мгновенным центром вращения в относительном движении звеньев. Как известно, геометрическое место мгновенных центров относительного вращения звеньев в системе каждого звена называется центроидой этого звена. При движении звеньев центроиды катятся друг по другу без скольжения. В частном случае, когда u ₁₂ = const, центроидами являются окружности радиусов O₁P и O₂P. В зубчатых передачах они называются начальными окружностями. Все геометрические параметры, относящиеся к начальным окружностям, обозначаются индексом w.

Для зубчатых передач с параллельными осями вращения вводят знак передаточного отношения. Для внешнего зацепления, когда валы колес вращаются в противоположных направлениях, знак u₁₂ отрицательный. Для внутреннего – положительный.

u ₁₂ = ω ₁ /ω ₂ = n ₁ / n ₂ = ± (O₂P)/(O₁P) = ± r_w2 / r_w1.

Здесь, n ₁ , n ₂ – частоты вращения колес.

Дата добавления: 2015-07-07