Определение скорости точки при сложном движении

Рассмотрим точку М, совершающую сложное движение. Пусть эта точка, двигаясь вдоль своей относительной траектории АВ,совершает за промежуток времени относительное перемещение, определяемое вектором (рис. 6.2, а).Сама кривая АВ,двигаясь вместе с подвижными осями Охуz (на рис. 6.2, а они не показаны), перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение А ₁ В ₁. Одновременно та точка кривой АВ,с которой в момент t совпадает точка М,совершит переносное перемещение . В результате этих движений точка М придет в положение М ₁и совершит за время абсолютное перемещение .

Рис. 6.2

Из векторного треугольника имеем:

.

Поделив обе части этого равенства на и перейдя к пределу, получим:

Но, по определению,

Так как при ® 0 кривая А ₁ В ₁ стремится к совпадению с кривой АВ,в пределе будем иметь:

.

В результате находим, что

. (6.1)

Направлены векторы по касательным к соответствующим траекториям (рис. 6.2, б).

Таким образом, мы доказали следующую теорему о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Построенная на рис. 6.2, б фигура называется параллелограммом скоростей.

Если угол между направлениями векторов и равен α, то по модулю

. (6.2)

6.3. Определение ускорения точки
при сложном движении. Теорема Кориолиса

Найдем зависимость между абсолютным ,относительным и переносным ускорениями. Эти три величины отличаются друг от друга не только тем, что при их вычислении рассматриваются приращения разныхвекторов скоростей, но и тем, что эти приращения вычисляются на разных перемещениях.А именно при определении рассматривается приращение вектора на абсолютном элементарном перемещении ;при вычислении – приращение вектора на относительном элементарном перемещении ; при вычислении – приращение вектора на переносном элементарном перемещении (рис. 6.3, а). Условимся обозначать в дальнейшем элементарное приращение, получаемое вектором при абсолютном перемещении, символом d, при относительном – d ₁, при переносном – d ₂.

Рис. 6.3

Тогда, по определению,

, , , (6.3)

где в соответствии с принятыми обозначениями dv_а – элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении , – элементарное приращение вектора на относительном перемещении и – элементарное приращение вектора на переносном перемещении .

Поскольку при сложном движении , то

. (6.4)

Однако в этом равенстве и , как и , представляют собой элементарные приращения соответствующих векторов на абсолютном перемещении , поэтому стоящие справа величины не будут равны и .

Для получения искомых зависимостей учтем, что абсолютное перемещение слагается геометрически из относительного и переносного элементарных перемещений и . Следовательно, (элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении )можно представить в виде

, (6.5)

где – элементарное приращение, получаемое вектором на относительном перемещении , a – элементарное приращение, получаемое тем же вектором на переносном перемещении . Отношение к dt дает величину .Для вычисления учтем, что переносное движение (движение осей Oxyz) слагается в общем случае из поступательного перемещения вместе с полюсом О и поворота вокруг мгновенной оси ОР, проходящей через этот полюс; угловую скорость этого поворота обозначим . При поступательном перемещении вектор остается параллельным самому себе и никакого приращения не получает. При повороте же вместе с осями Oxyz вокруг мгновенной оси ОР вектор , оставаясь постоянным по модулю, изменяет свое направление. Поворот вектора при непоступательном переносном движении и является причиной того, что этот вектор получает приращение на перемещении (рис. 6.3, б, где и изображают и кривую АВ в момент t+dt, а пунктиром показан вектор в момент t). Приращение, получаемое вектором при таком повороте, определяется формулой (4.3), где , а (рис. 6.3, б).

Следовательно,

,

откуда

. (6.6)

Для элементарных перемещений имеет место равенство

,

где

,

,

,

при этом .

Однако, когда перемещения не являются элементарными, такое равенство невозможно, что видно из рис. 6.2, а, где фигура – не параллелограмм.

В результате из равенства (6.5) найдем

. (6.7)

По аналогии с (6.5) величину (элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении можно также представить в виде

, (6.8)

где – элементарное приращение, получаемое вектором на относительном перемещении ,а – элементарное приращение того же вектора на переносном перемещении . Отношение к dt дает . Для вычисления заметим, что если считать начало О полюсом (рис. 6.3), то по формуле (3.3) получим

. (6.9)

Если переносное движение не является поступательным (w_пер ¹ 0), то значения в точках М и М' будут разными, что видно и из равенства (6.9), где r имеет разные значения для точек М и М'. Вследствие этого вектор на относительном перемещении получает приращение (рис. 6.3, в где – значение и точке М',т.е. в момент t+dt, а пунктиром показан вектор в точке М,т.е. в момент t). Чтобы найти ,следует продифференцировать равенство (6.9), считая в нем и постоянными, а вектор изменяющимся только в относительном движении.

Тогда будем иметь

,

где, очевидно, что

Следовательно,

. (6.10)

В результате из равенства (6.8) найдем

. (6.11)

Найденные в ходе расчетов соотношения (6.7) и (6.11) показывают, что в общем случае производные , действительно отличаются от и , причем на одну и ту же величину ().

Введем обозначение

. (6.12)

Величина , характеризующая изменение вектора относительной скорости в переносном движении и вектора переносной скорости в относительном движении, называется поворотным или кориолисовым ускорением точки. Тогда из равенств (6.4), (6.7) и (6.11) окончательно получим

. (6.13)

Формула (6.13) выражает следующую теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, характеризующего изменение относительной скорости в относительном движении, переносного, характеризующего изменение переносной скорости в переносном движении, и кориолисова, характеризующего изменение относительной скорости в переносном движении и переносной скорости в относительном движении.

Если переносное движение является поступательным, то w_пер= 0 и . Тогда

. (6.14)

Следовательно, при поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений.

Пример 12. Кулиса ОА вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг оси О (рис. 6.4). По прорези кулисы скользит ползун В с постоянной относительной скоростью . Определить абсолютное ускорение ползуна в зависимости от его расстояния х до оси О.

Рис. 6.4

Решение.

Остановив в момент t ₁кулису, находим, что относительное движение ползуна вдоль кулисы является равномерным и прямолинейным; следовательно, . Движение кулисы ОА будет для ползуна В переносным. Следовательно, переносное ускорение ползуна равно ускорению той точки кулисы, с которой в данный момент совпадает ползун. Так как эта точка кулисы движется по окружности радиуса ОВ = х и w = const, то вектор и направлен вдоль ВО,а по модулю .

Величина кориолисова ускорения , так как движение происходит в вертикальной плоскости. Повернув вектор относительной скорости и вокруг точки В на 90° в сторону переносного вращения (т.е. по ходу часовой стрелки), найдем направление . По теореме Кориолиса,

.

В данном случае , а перпендикулярно к . Следовательно,

.

Пользуясь данными этой задачи, покажем на примере, как вычисляются в отдельности величины, составляющие .

Рис. 6.5

Направим вдоль прорези кулисы подвижную ось Ох и изобразим на ней ползун в виде точки В (рис. 6.5, а); ось Ох вращается вокруг центра О,совершая по отношению к неподвижным осям Ох ₁ у ₁переносное движение. Так как в данном случае вектор относительной скорости при относительном перемещении точки В вдоль оси Ох не изменяется, то и . Но при переносном движении векторповернется за время dt вместе с осью Ох на угол и получит приращение . Поскольку при этом повороте модуль вектора не изменяется, то вектор перпендикулярен , а . В результате точка В получит добавочное ускорение , направленное так же, как вектор , т.е. перпендикулярно оси Ох, и численно равное

. (1)

Скорость точки В при переносном движении (повороте оси Ох) изменяется в данном случае по направлению, в результате чего точка получает вычисленное выше переносное ускорение, показанное на рис. 6.4. Но вектор получит приращение и при относительном перемещении точки В в положение В ₂(рис. 6.5, б),так как в положении В величина ,а в положении В ₂будет . Следовательно, поскольку dx = udt,то . В результате точка В получит еще одно добавочное ускорение ,направленное так же, как вектор , численно равное

. (2)

Поскольку векторы и имеют одинаковые направления, то, сложив их, мы найдем полное добавочное ускорение, которое точка В получает вследствие изменения вектора в переносном движении и вектора в относительном движении. Это ускорение, численно равное a ₁ +a ₂, и будет кориолисовым ускорением точки В.

Дата добавления: 2015-07-08