Скорость и ускорение точки

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки.

При векторном способе задания движения скорость определяется следующим образом. Положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиус-вектором , который является функцией времени . Пусть в момент времени t точка занимает положение М,определяемое радиус-вектором , а в момент – положение М ₁, определяемое радиус-вектором (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Из треугольника ОММ ₁ следует, что

.

При перемещении точки ее радиус-вектор получает приращение

.

Из приведенных равенств следует, что вектор перемещения точки является приращением радиус-вектора точки за промежуток времени .

Отношение вектора перемещения к промежутку времени , в течение которого произошло это перемещение, представляет собой вектор средней скорости воображаемого движения точки по хорде :

. (1.5)

Направление вектора совпадает с направлением вектора . При уменьшении промежутка времени и приближении его к нулю вектор также стремится к нулю, а вектор – к некоторому пределу. Этот предел является вектором скорости точки в момент t:

. (1.6)

Так как – приращение скалярного аргумента t, а – приращение вектора-функции ,то предел отношения при является векторной производной от по t:

. (1.7)

Таким образом, вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиус-вектора точки по времени.

Вектор направлен по хорде в сторону движения точки. Когда стремится к нулю, точка стремится к точке М, т. е. предельным положением секущей является касательная.

Из этого следует, что вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

При движении точки по криволинейной траектории направление вектора скорости непрерывно изменяется (рис. 1.7).

При прямолинейном движении вектор скорости все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь по модулю. Размерность скорости – длина/время; в качестве единиц измерения применяются обычно м/с или км/час.

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

При неравномерном криволинейном движении точки изменяются модуль и направление ее скорости. Допустим, что в момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость ,а в момент времени t ₁= t + ∆ t она занимает положение М ₁и имеет скорость (рис. 1.7, а).

Рис. 1.7

Найдем приращение вектора скорости за промежуток времени ∆ t. Для этого отложим от точки М скорость и построим при этой точке параллелограмм, одной из сторон которого будет скорость , а диагональю – скорость .

Тогда вторая сторона параллелограмма будет приращением вектора скорости , так как

.

Разделив приращение вектора скорости на промежуток времени t, получим вектор среднего ускорения точки за этот промежуток:

. (1.8)

Этот вектор имеет направление и, следовательно, направлен в сторону вогнутости кривой.

Построив годограф скорости CD (рис.1.7, б), отложим там же скорости и , приращение вектора скорости , а также вектор среднего ускорения , направленный по хорде NN ₁годографа скорости.

Предел, к которому стремится вектор среднего ускорения , когда t стремится к нулю, является вектором ускорения точки в данный момент времени t:

. (1.9)

Учитывая, что скорость является векторной функцией от времени, т.е. , и что , имеем

. (1.10)

Следовательно, вектор ускорения точки равен первой производной от скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени.

Определим модуль и направление ускорения точки по уравнениям ее движения в декартовых координатах.

Пусть заданы уравнения движения точки (рис.1.8):

, , .

Рис. 1.8

Радиус-вектор движущейся точки M представим виде

.

Так как ускорение точки равно второй производной от радиус-вектора по времени, а векторы постоянны, то имеем

.

Разложим ускорение на составляющие по осям координат:

,

где а_х, а_у, a _z – проекции ускорения на оси х, у, z соответственно.

Сопоставив обе эти формулы, определяющие ускорение, получим:

(1.11)

Так как первые производные от координат точки по времени равны проекциям скорости на соответствующие оси, т.е. dx/dt = v_x, dy/dt = v_y, dz/dt = v_z,то проекции ускорения точки можно представить в виде:

(1.12)

Таким образом, проекции ускорения точки на неподвижные оси декартовых координат равны вторым производным по времени от соответствующих координат точки или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

Вычислив проекции ускорения на координатные оси, можно определить модуль и направление ускорения точки по следующим формулам:

;

. (1.13)

Движение точки в плоскости xOy задается двумя уравнениями движения:

, .

Модуль и направление ускорения точки в этом случае (рис. 1.9) определяются так:

(1.14)

Рис. 1.9

Прямолинейное движение точки задается одним уравнением

.

В этом случае модуль ускорения а равен абсолютному значению его проекции на ось х, т.е.

.

Ускорение направлено в сторону оси х,если а_х > 0 (рис. 1.10), и противоположно оси х, если а_х < 0.

Рис. 1.10

При естественном способе задания движения вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 1.11) и по модулю равен

. (1.15)

Вектор ускорения определяют по его проекциям на оси Mtnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с ней.

Рис.1.11

Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными осями), направлены следующим образом: ось Mt – вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s;ось Mn – по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости, направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb – перпендикулярно первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль Мп,лежащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная ей нормаль Mb – бинормалью. Вычислим проекции вектора на две оси (t и n). В момент времени точка находится в положении М и имеет скорость v, в момент приходит в положение М ₁ и имеет скорость .

Тогда по определению

.

Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси Мt и Мn, проведенные в точке М (рис. 1.11). Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим:

,

.

Учитывая, что проекции вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку M ₁оси Мt', Мп',параллельные Мt, Мп,и обозначим угол между направлением вектора и касательной Мt через Dj. Этот угол между касательными к кривой в точках М и М ₁ называется углом смежности.

Напомним, что предел отношения угла смежности Dj к длине дуги определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна жеявляется величиной, обратной радиусу кривизны в точке М. Таким образом,

.

Обращаясь теперь кчертежу (рис. 1.11), найдем, что проекции векторов и на оси Мt и Мп будут равны:

, ;

,

,

где и – численные величины скорости точки в моменты t и t ₁.

Следовательно,

,

.

Заметим, что при точка M ₁неограниченно приближается к М и одновременно , , .

Тогда, учитывая, что в пределе , получим для выражение:

. (1.16)

Если траектория точки М не является плоской кривой, то равенство будет приближенным вследствие отклонения вектора от плоскости Мtп. Однако окончательный результат будет точным, так как при переходе к пределу это отклонение стремится к нулю.

Правую часть выражения для преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на Dj Ds. Тогда получим

, (1.17)

так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при D t ® 0 равны

,

,

,

.

Итак,

;

.

Таким образом, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю (). Эти результаты доказывают одну из важных теорем кинематики точки.

Рис. 1.12

Отложим вдоль касательной Мt и главной нормали Мп векторы _t и _n (рис. 1.12). Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая _n будет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина а_n всегда положительна), а составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси Мt в зависимости от знака проекции .

Вектор ускорения точки изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих и _n. Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю

. (1.18)

Пример 2. Точка движется по окружности радиуса R = 150 см согласно уравнению , где t выражено в с, s – в см.

Определить:

1) среднюю скорость точки за первые шесть и вторые шесть секунд, отсчитанные от начального момента времени;

2) скорость точки в конце шестой и в конце двенадцатой секунды;

3) дуговую координату точки, при которой скорость точки равна 10 см/с.

Решение.

1. Определим среднюю скорость точки. Для определения средней скорости точки за промежутки времени 0 – 6 и 6 – 12 сек требуется найти пути, пройденные точкой за эти промежутки времени.

Из уравнения движения видно, что при увеличении t дуговая координата s монотонно возрастает, т.е. точка движется, удаляясь от начала отсчета в положительном направлении. В этом случае пройденные точкой пути можно найти как приращения дуговой координаты. По уравнению движения находим значения дуговой координаты, соответствующие моментам времени t = 0, 6, 12 сек:

при t = 0 ;

при t = 6 сек ;

при t = 12 сек .

Пройденные пути определяются так:

;

.

Средние скорости за эти промежутки времени по 6 сек находим делением пути на промежуток времени:

;

.

2. Определим скорость точки в данный момент. Прежде всего определим модуль скорости точки в любой момент времени:

.

Вычислим модули скорости точки в моменты времени

а) при t = 6 cек ;

б) при t = 12 cек .

Как указано выше, точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты, поэтому скорости точки и направлены так же, как орты .

Примечание. Средняя скорость точки = 27 см/с за промежуток времени от 6 до 12 сек не совпадает с полусуммой модулей начальной и конечной скоростей этого промежутка , так как движение точки не является равнопеременным.

3. Определим дуговую координату точки, соответствующую заданной скорости. Можно определить момент времени, когда точка обладает скоростью 10 см/с. По уравнению движения определится значение дуговой координаты в этот момент времени:

при t = 4 сек .

Пример 3. Определить ускорение точки по условию предыдущего примера в моменты времени t = 6 и 12 сек.

Решение.

В примере 2 получена формула для определения скорости точки в любой момент времени и значения и . Радиус траектории движения точки (окружность) . Определим касательное и нормальное ускорения точки по формулам (1.16), (1.17) и полное ускорение точки по формуле (1.18):

,

.

где R – радиус окружности,

.

Вычислим , а_n и а в заданные моменты времени:

а) t = 6 cек:

,

,

;

б) t = 12 cек:

,

,

.

Так как при всех значениях t, то точка движется ускоренно, и направление ее касательного ускорения во всех точках совпадает снаправлением . Нормальное ускорение в каждой точке направлено к центру окружности (рис. 1.13).

Рис. 1.13

Контрольные вопросы

1. Какие существуют кинематические способы задания движения точки? В чем суть каждого из этих способов?

2. При каких условиях значение дуговой координаты точки в некоторый момент времени равно пути, пройденному точкой за промежуток от начального момента до данного момента времени?

3. Чем является траектория точки при векторном способе задания движения точки?

4. Как по уравнениям движения точки в координатной форме определить ее траекторию?

5. При каком движении точки координатный и естественный способы задания движения совпадают?

6. Чему равен вектор скорости точки в данный момент времени? Какое направление он имеет?

7. Как определяются проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат?

8. Как определяется скорость точки при различных способах задания ее движения?

9. Как определяется ускорение точки при различных способах задания ее движения?

10. Что характеризует собой касательное и нормальное ускорение точки?

11. При каком движении точки равно нулю касательное ускорение? При каком – нормальное ускорение?

12. Как классифицируется движение точки по характеру изменения ее ускорения?

Дата добавления: 2015-07-08