Уравнение сферического движения. Углы Эйлера

Рассмотрим движение по отношению к системе отсчета Оx 1 y 1 z 1 твердого тела, закрепленного так, что одна точка О остается во все время движения неподвижной. Такое движение совершает, например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры о плоскость, или любое другое тело, закрепленное в точке О шаровым шарниром.

Рис. 4.1

При таком движении все остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. По этой причине рассматриваемое движение тела называют сферическим движением твердого тела.

Для определения положения тела в каждый момент времени воспользуемся двумя системами осей координат: неподвижной системой Оx ₁ y ₁ z ₁с началом в неподвижной точке О и подвижной системой Oxyz,неизменно связанной с твердым телом, с началом в той же неподвижной точке О.

Линия ОК,вдоль которой пересекаются плоскости Оху и Оx ₁ y ₁называется линией узлов. Тогда положение по отношению к осям Oxy трехгранника Оx ₁ y ₁, а с ним и самого тела, можно определить углами:

, , .

Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие наименования, взятые из небесной механики: – угол собственного вращения, y – угол прецессии, q – угол нутации. Положительные направления отсчета углов показаны стрелками на рис. 4.1. При изменении угла тело совершает поворот вокруг оси Oz (собственное вращение), при изменении угла y – поворот вокруг оси Oz ₁ (прецессия) и при изменении угла q – поворот вокруг линии узлов ОК (нутация).

Так как положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, определяется тремя эйлеровыми углами, т.е. тремя параметрами, оно имеет три степени свободы.

При движении твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной, углы , y, q непрерывно изменяются во времени, являясь функциями времени t:

, , . (4.1)

Уравнения (4.1), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки или уравнениями сферического движения твердого тела.

Положение твердого тела в пространстве определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой. Действительно, две точки определяют некоторую ось, а третья точка – положение тела по отношению к этой оси. Следовательно, положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно определить положением двух его точек, не лежащих на одной прямой с неподвижной точкой.

Дата добавления: 2015-07-08