Уравнения плоского движения

Плоским или плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Плоская фигура, образованная сечением тела этой неподвижной плоскостью Q,во все время движения остается в этой плоскости (рис. 3.1). Установим свойства плоского движения твердого тела.

Рассмотрим движение точек тела, расположенных на одном перпендикуляре к неподвижной плоскости Q. Точка М ₁ движется в плоскости Q ₁а точка М ₂– в плоскости Q ₂;обе плоскости параллельны неподвижной плоскости Q.

При движении тела отрезок M ₁ M ₂остается перпендикулярным плоскости Q,т.е. остается параллельным своему начальному положению. Это значит, что все точки этого перпендикуляра (аналогично точкам тела, движущегося поступательно) описывают тождественные и параллельные между собой траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения. Иными словами, траектории А ₁ В ₁, A ₂ B ₂, АВ точек тела М ₁, М ₂, М тождественны и параллельны, их скорости и ускорения также равны.

Основываясь на этом свойстве плоского движения твердого тела, установим, что движение каждой точки плоской фигуры в неподвижной плоскости Q определяет собой движение всех точек твердого тела, расположенных на перпендикуляре к плоскости Q,восставленном в этой точке. Это позволяет свести изучение плоского движения твердого тела к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости.

Так как положение плоской фигуры на плоскости вполне определяется положением двух ее точек или положением отрезка, соединяющего две точки этой фигуры (рис. 3.1), то движение плоской фигуры в ее плоскости можно изучать как движение прямолинейного отрезка в этой плоскости.

Рис. 3.1

Предположим, что плоская фигура переместилась на плоскости из положения I в положение II (рис. 3.2). Отметим два положения отрезка АВ, принадлежащего фигуре.

Рис. 3.2

Покажем, что перемещение фигуры можно осуществить совокупностью двух перемещений: поступательного перемещения и поворота.

1-й вариант. Переместим фигуру поступательно из положения АВ в положение А ₁ В',т. е. так, чтобы точка А переместилась в новое положение А ₁, а точка В описала траекторию, тождественную траектории точки А. Затем повернем фигуру вокруг точки А ₁на угол j ₁ так, чтобы точка В' совпала с точкой В ₁.

2-й вариант. Переместим фигуру поступательно из положения АВ в положение А'В ₁, а затем повернем ее вокруг точки В ₁на угол j ₂ так, чтобы точка А' совпала с точкой А ₁.

Вариантов перемещений может быть столько, сколько имеется точек плоской фигуры, т.е. бесчисленное множество.

Таким образом, поступательное перемещение плоской фигуры различно в различных вариантах, а угол поворота и направление поворота одинаковы:

j ₁ = j ₂.

Из этого следует, что всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как совокупность двух перемещений: поступательного перемещения плоской фигуры вместе с произвольной точкой, называемой полюсом, и поворота вокруг полюса.

При этом поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а числовая величина угла поворота и направление поворота от выбора полюса не зависят.

Из вышеизложенного следует, что действительное движение плоской фигуры в ее плоскости в каждый момент времени можно рассматривать как совокупность поступательного движения и вращения. Поступательная часть движения фигуры зависит от выбора полюса и определяется егодвижением.

Приняв за полюс некоторую точку О и обозначив через х ₀, у ₀ее координаты в неподвижной системе xO ₁ y (рис. 3.3), можно определить движение полюса О, а следовательно, и поступательное движение всей фигуры уравнениями и .

Рис. 3.3

Для получения угла поворота, характеризующего вращательную часть движения плоской фигуры, проведем через полюс О две полупрямые Оа и Ob,из которых Оа не принадлежит плоской фигуре и движется поступательно вместе с полюсом О,а Оb принадлежит этой фигуре и вместе с ней вращается вокруг полюса О.

Обозначив ÐaOb = j, можно определить вращательное движение фигуры уравнением вращения . Таким образом, движение плоской фигуры в ее плоскости, а следовательно, и движение всего тела определяются тремя уравнениями, называемыми уравнениями плоского движения твердого тела:

, , . (3.1)

Покажем, что вид уравнения не зависит от выбора полюса. Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа (рис. 3.4). Возьмем за полюсы точки О ₁и О ₂этой фигуры, описывающие при ее движении траектории A ₁ B ₁и A ₂ В ₂. Укажем соответствующие им углы поворота плоской фигуры j ₁ и j ₂. Для этого проведем в точках O ₁и О ₂две параллельные друг другу полупрямые О ₁ а ₁ и О ₂ а ₂,которые предположим движущимися поступательно вместе с полюсами, т.е. остающимися параллельными друг другу во все время движения.

Рис. 3.4

Также проведем на плоской фигуре две параллельные друг другу полупрямые О ₁ b ₁и О ₂ b ₂,которые, очевидно, в любом положении этой фигуры останутся параллельными. Тогда угол j ₁ между полупрямыми О ₁ а ₁и О ₁ b ₁и угол j ₂ между полупрямыми О ₂ а ₂и О ₂ b ₂во все время движения будут равны:

или .

Это равенство показывает, что вид уравнения, определяющего вращательную часть движения плоской фигуры, не зависит от выбора полюса.

Обозначим алгебраические величины угловых скоростей и угловых ускорений плоской фигуры в ее вращении вокруг полюсов О ₁и O ₂соответственно , и , :

,

.

Эти равенства показывают, что угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры в ее вращении вокруг произвольно выбранного полюса также не зависят от выбора полюса. Следовательно, угловая скорость ω и угловое ускорение ε являются общими для всех полюсов и называются угловой скоростью и угловым ускорением плоской фигуры. Они определяются по следующим формулам:

,

. (3.2)

Векторы и направлены по оси, проходящей перпендикулярно плоскости фигуры. Если направления и совпадают, то вращение плоской фигуры происходит ускоренно (рис. 3.5, а), а если они противоположны, то замедленно (рис. 3.6, а). Так как векторы и перпендикулярны плоскости чертежа, то направление угловой скорости, соответствующее направлению вращения, и направление углового ускорения плоской фигуры условимся обозначать так, как показано на рис. 3.5, б и 3.6, б.

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Дата добавления: 2015-07-08