Определение ускорений точек плоской фигуры

Покажем, что ускорение любой точки M плоской фигуры (так же, как и скорость) складываются из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки M по отношению к осям Oxy (рис. 3.7) определяется радиус-вектором , где . Тогда

В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение полюса A, а второе слагаемое определяет ускорение , которое точка M получает при вращении фигуры вокруг полюса A. Следовательно,

. (3.10)

Значение как ускорения точки вращающегося твердого тела определяется по формулам

, , (3.11)

где и – угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а – угол между вектором и отрезком MA (рис. 3.13).

Рис. 3.13

Таким образом, ускорение любой точки M плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки A, принятой за полюс, и ускорения, которое точка M получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения определяется путем построения соответствующего параллелограмма (рис. 3.13).

Однако вычисление с помощью параллелограмма, изображенного на рис. 3.13, усложняет расчет, так как предварительно следует найти значение угла , а затем – угла между векторами и . Поэтому при решении задач удобнее вектор заменять его касательной () и нормальной () составляющими и представить равенство (3.11) в виде

. (3.12)

При этом вектор направлен перпендикулярно AM в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор всегда направлен от точки M к полюсу A (рис. 3.14). Численно же

,

. (3.13)

Если полюс A движется не прямолинейно, то его ускорение можно представить как сумму касательной и нормальной составляющих, тогда

. (3.14)

Рис. 3.14

Наконец, когда точка M движется криволинейно и ее траектория известна, то в левых частях равенств (3.12) и (3.14) можно заменить суммой . Формулами (3.12) – (3.14) обычно пользуются при решении задач.

3.4. Примеры решения задач
по кинематике плоского движения

Скорость и ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент времени можно найти, если известны: 1) векторы скорости и ускорения какой-нибудь точки A этой фигуры в данный момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки B фигуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры достаточно знать положение мгновенного центра скоростей (МЦС).

Тело (или механизм) при решении задач следует изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответствующей точки. Расчет начинается с определения (по данным задачи) скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс. Дальнейшие особенности расчета подробно рассматриваются в решенных ниже задачах. Там же даются необходимые дополнительные указания.

Пример 5. На рис. 3.15 показана схема плоского рычажного механизма (эллипсографа). Даны размеры AB = 20 см, AC = 10 см. Известны также скорость и ускорение ползуна A (рис. 3.15): = 40 см/с, = 20 см / с ². Определить скорости и ускорения точек B и C, а также угловую скорость и ускорение линейки AB.

Решение.

1. Определение скоростей точек B и C и угловой скорости звена AB.

Определим положение мгновенного центра скоростей звена AB (точка ), проводя перпендикуляры к скоростям и ( // y, // x).

По теореме о мгновенном центре скоростей,

,

откуда

.

Рис. 3.15

Из треугольника ,

тогда

см/с.

Скорость точки C

,

где

,

.

Поскольку (по условию), (см. выше) и , то треугольник – равносторонний, т.е.

см,

см/c

и направлена перпендикулярно отрезку (рис 3.15).

2. Определение ускорений точек B и C и углового ускорения звена AB.

По теореме об ускорениях при плоскопараллельном движении,

, (1)

где ,

(направлен предположительно вниз).

Спроецируем (1) на оси x и y (рис. 3.16):

на ось x: ; (2)

на ось y: . (3)

Из уравнения (2):

.

Из уравнения (3):

Угловое ускорение звена AB

и направлено против часовой стрелки (рис. 3.16).

Рис. 3.16

Ускорение точки C:

, (4)

где ,

.

Спроецируем (4) по оси x и y:

на ось x:

;

на ось y:

.

Тогда

.

Направление вектора определяем с помощью угла (рис. 3.17):

.

Рис. 3.17

Пример 6. Определить скорости и ускорения точек B и C плоского рычажного механизма (рис. 3.18) при следующих данных: ОA = 10 см, AB = 16 см, AC = 5 см, , .

Рис. 3.18

Решение.

1. Определение скоростей точек B и C и угловой скорости звена AB.

Определим мгновенный центр скоростей звена AB (рис. 3.18) – точка (лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям и ).

Скорость точки А

.

Угловая скорость звена AB

,

следовательно,

, (1)

где BP и AP определяем из треугольника .

Определим углы в треугольнике OAB по теореме синусов:

;

откуда

,

,

.

Тогда углы треугольника :

,

,

,

что доказывает правильность определения углов и , т.к. более просто угол можно найти из треугольника .

По теореме синусов для треугольника :

, (2)

следовательно,

,

откуда

. (3)

Подставляя выражения (3) в (1), получим

.

Скорость точки C

,

где

.

Отрезки AP и BP определим из выражения (2):

,

.

Тогда

.

Отрезок CP определим из треугольника по теореме косинусов:

Тогда

.

Направлен вектор перпендикулярно отрезку CP (рис. 3.18).

2. Определение ускорений точек B и C и углового ускорения звена AB.

По теореме об ускорениях при плоском движении (п. 3.3), записанной для точки B имеем:

, (4)

где ,

,

.

Направления векторов указаны на рис. 3.19.

Направим предположительно и , как показано на рис. 3.19, и спроецируем выражение (4) на оси координат:

на ось x:

, (5)

на ось y:

. (6)

Рис. 3.19

Из выражения (6):

.

Знак «+» означает, что вектор в действительности направлен вниз (как мы и предполагали (рис. 3.19)), тогда угловое ускорение звена AB

и направлено по часовой стрелке.

Подставив значение в выражение (5), получим:

Для определения ускорения точки C запишем выражение:

, (7)

где ,

.

Тогда, проецируя выражение (7) на оси x и y, получим:

.

Направление вектора определим с помощью угла (рис. 3.20):

.

Рис. 3.20

Пример 7. На рис. 3.21 изображена схема механизма шарнирного четырехзвенника. Заданы геометрические размеры: OA = 0,05 м, BD = 0,2 м, AC = 0,2 м. Кривошип OA движется с постоянной угловой скоростью . Определить скорости и ускорения точек B и C, угловые скорость и ускорение звеньев AB и BD.

Рис. 3.21

Решение.

1. Определение скорости точек B и C и угловой скорости звена AB.

Скорость точки A равна

и направлена перпендикулярно OA вертикально вверх (рис. 3.21).

Скорость точки B , т.е. направлена горизонтально вправо.

Проводя перпендикуляры к и (рис. 3.21), получим точку их пересечения в точке D, которая будет являться мгновенным центром скоростей (МЦС) звена AB, т.е. в данной задаче положение МЦС звена АВ (точки ) совпадает с точкой D.

Тогда

.

AD = BD, так как треугольник ADB – равнобедренный.

Угловая скорость звена A равна

и направлена по часовой стрелке (рис. 3.21).

Так как

,

то

, т.к. AD = BD.

Для определения скорости точки C соединим точку с точкой C:

.

Отрезок DC определяется из треугольника DAC по теореме косинусов:

Тогда

.

2. Определение ускорений точек B и C и угловых ускорений звеньев AB и BD.

По теореме об ускорениях для звена AB имеем:

, (1)

где ,

т.к. ,

и направлено по линии AB (рис. 3.22);

;

и направлено перпендикулярно AB предположительно вверх (на рис. 3.22 вектор изображен пунктиром).

Принимая за полюс неподвижную точку D, записываем теорему об ускорениях для звена BD:

, (2)

где и направлено от точки B к точке D.

;

и направлено перпендикулярно BD предположительно вправо (на рис. 3.22 вектор изображен пунктирной линией).

Рис. 3.22

Сравнив уравнения (1) и (2), получим

. (3)

Проецируя (3) на оси x и y, получим:

на ось x: ; (4)

на ось y: . (5)

Из выражения (5) получим:

.

Знак «–» означает, что в действительности вектор направлен противоположно изображенному на рисунке 3.22 (сплошная линия).

Тогда угловое ускорение звена AB равно

и направлено по часовой стрелке.

Подставив значение в уравнение (4), получим:

.

Следовательно, вектор направлен перпендикулярно BD влево (рис. 3.22).

Угловое ускорение звена BD равно

и направлено против часовой стрелки.

Полное ускорение точки B равно

.

По теореме об ускорениях, для точки C имеем:

, (6)

где ,

и направлено перпендикулярно AB вниз.

Проецируем (6) на оси x и y:

на ось x:

на ось y:

.

Полное ускорение точки С равно

.

Направление вектора определяется углом (рис. 3.23):

.

Рис. 3.23

Пример 8. Круглый однородный диск катится по горизонтальной плоскости (рис. 3.24), при этом центр диска движется со скоростью и ускорением . Расстояние AC = 5 см. Определить скорости и ускорения точек B и C, а также угловые скорость и ускорение диска.

Рис. 3.24

Решение.

1. Определение скоростей точек B и C и угловой скорости колеса.

Так как диск катится по неподвижной плоскости, то точка P является мгновенным центром скоростей колеса.

Угловая скорость колеса равна

и направлена по часовой стрелке (рис. 3.24).

Скорость точки B равна

и направлена перпендикулярно BP, т.е. горизонтально вправо.

Скорость точки C

,

где CP определяется из треугольника ACP по теореме косинусов:

Тогда

и направлена перпендикулярно CP (рис. 3.24).

2. Определение ускорений точек B и C и углового ускорения колеса.

Угловое ускорение колеса равно

и направлено по часовой стрелке (рис. 3.25).

Рис. 3.25

По теореме об ускорениях точек плоской фигуры, для точки B (полюс – точка A, ускорение которой задано) имеем:

, (1)

где – ускорение полюса, равное ;

– центростремительное (нормальное) ускорение точки B вокруг A, равное

;

– вращательное (тангенциальное) ускорение точки B вокруг A, равное

.

Направления векторов и указаны на рис. 3.25.

Для определения проецируем выражение (1) на оси x и y:

на ось x: ;

на ось y: .

Тогда

.

Направление вектора определим через угол (рис. 3.26):

.

Рис. 3.26

Ускорение точки C равно

, (2)

где ;

.

Проецируем выражение (2) на оси x и y:

на ось x:

;

на ось y:

.

Полное ускорение точки С равно

.

Направление вектора определим через угол (рис. 3.27):

.

Рис. 3.27

Пример 9. На рис. 3.28 показана схема планетарного механизма, состоящего из неподвижного колеса радиусом R, кривошипа (водила) OA, вращающегося вокруг колеса оси 1, и подвижного колеса 2, шарнирно соединенного с кривошипом OA. При вращении кривошип OA заставляет колесо 2 катиться без скольжения по колесу 1. Исходные данные: , , R = 0,2 м, r = 0,1 м. Определить скорости и ускорения точек A и M, а также угловые скорость и ускорение колеса 2.

Решение.

1. Определим скорость и ускорение шарнирной точки A.

Точка А принадлежит вращающемуся телу OA, и хотя это тело является звеном механизма, известны его угловая скорость и , поэтому скорость и ускорение точки A равны

,

,

,

где .

Рис. 3.28

Вектор скорости точки A направлен перпендикулярно прямой OA в сторону вращения кривошипа OA, то есть вверх (рис 3.28). Так как направление совпадает с направлением , то тангенциальная составляющая ускорения совпадает с направлением скорости точки A, а нормальное ускорение направлено от точки A к оси вращения (рис. 3.29).

2. Определим угловую скорость колеса 2.

Колесо 2 совершает плоское движение, и известно положение мгновенного центра скоростей (точка P на рис. 3.28), который находится в точке контакта колес 1 и 2, так как колесо 2 катится без скольжения вокруг неподвижного колеса 1.

Рис. 3.29

Тогда

.

3. Определим угловое ускорение колеса 2.

Зависимости и неизвестны, однако расстояние от точки A до мгновенного центра скоростей (точки P) постоянно (равно r), поэтому по определению углового ускорения имеем

.

4. Определим скорость и ускорение точки M колеса 2.

Точка М принадлежит телу 2, входящему в состав механизма, причем угловая скорость этого тела и его ускорение найдены; тело совершает плоское движение, при этом известны скорость и ускорение точки A (найдены по условию задачи при заданных значениях и ).

Приняв точку A за полюс, запишем:

, (1)

где .

Спроецировав (1) на оси Oх и Oy (рис. 3.28), получим:

,

,

.

По теореме об ускорениях для точки M имеем:

, (2)

где ,

.

Спроецировав (2) на оси координат (рис. 3.29), получим:

на ось x: ;

на ось y: .

Тогда

.

Пример 10. На рис. 3.30 показана схема дифференциального механизма, состоящего из вращающихся вокруг оси O колеса 1, кривошипа OA и колеса 2, которое в результате взаимодействия с кривошипом 2 при помощи плоского шарнира A катится без скольжения относительно колеса 1. Исходные данные: , , , , , . Определить скорости и ускорения точек A, B, C, а также угловую скорость и ускорение колеса 2.

Рис. 3.30

Решение.

1. Определим скорости точек A, B и угловую скорость колеса 2.

Точка B контакта колес не является в данной задаче мгновенным центром скоростей, так как колесо 1 вращается и скорости всех его точек (кроме точки O) не равны нулю. Чтобы определить угловую скорость колеса 2, необходимо знать скорость какой-либо точки колеса во вращательном движении вокруг другой точки. Для этого предварительно определим скорости точек A и B колеса 2.

Так как точка A одновременно принадлежит кривошипу OA, то ее скорость равна

.

Скорости точек B колес 1 и 2 одинаковы, т. к. они вращаются без проскальзывания друг относительно друга. Так как угловая скорость колеса 1 известна, то

.

Направление скоростей точек A и B показано на рис. 3.30.

Так как тело совершает плоское движение, то, приняв точку B за полюс, запишем векторное уравнение:

. (1)

Вектор направлен перпендикулярно прямой AB (рис. 3.30). Предположим, что он направлен влево. Спроектировав (1) на ось x, получим:

,

откуда

.

Из того, что следует, что выбранное направление вектора оказалось верным. Тогда

.

2. Определим угловое ускорение колеса 2. Так как ускорение неизвестно, то выразим через и :

.

Так как точка A принадлежит вращающемуся кривошипу OA, а точка B – колесу 1, то

,

.

Поэтому

Знак «–» в данном случае означает, что угловое ускорение колеса 2 направлено в сторону, противоположную угловым ускорениям кривошипа и колеса 1, то есть по часовой стрелке (рис. 3.30 и 3.31).

3. Определим скорость точки C и ускорения точек B и С.

Скорость точки C определим из уравнения

, (2)

где вектор по модулю равен

.

направление вектора показано на рис. 3.30.

Рис. 3.31

Спроецировав выражение (2) по оси x и y (рис. 3.30), получим

,

.

Тогда

.

Ускорение точки B определим в соответствии с уравнением

, (3)

где ,

,

,

.

Направления векторов указаны на рис. 3.31.

Спроецировав выражение (3) на оси x и y, получим:

,

.

Полное ускорение точки В равно

.

Ускорение точки C определим в соответствии с выражением:

, (4)

где ;

.

Спроецировав выражение (4) на оси x и y, получим:

Полное ускорение точки С равно

.

3.5. Определение скоростей точек
графическим методом. План скоростей

Скорости точек тела можно определять графически, построением плана скоростей. Планом скоростей называется диаграмма, на которой от некоторого центра отложены векторы скоростей точек тела.

Рис. 3.32

Пусть v_A, v_B, v_C – скорости точек А, В, С данного тела (рис. 3.32, а). Тогда получим соответствующий план скоростей, отложив от некоторого центра О (рис. 3.32, б)в выбранном масштабе отрезки

, , .

Установим свойства и правила построения плана скоростей. По теореме о скоростях точек твердого тела при плоском движении имеем:

, (3.15)

где и .

Но из треугольника Oab видно, что или . Сравнив этот результат с равенством (3.15), получим . Аналогично найдем, что . Тогда

аb = w ∙AB, ac = w ∙ AC и т.д.,

где ^ AB, ^ AC и т.д.

Тогда

. (3.16)

Следовательно, отрезки, соединяющие концы векторов скоростей на плане скоростей, перпендикулярны отрезкам, соединяющим соответствующие точки тела, и по модулю пропорциональны этим отрезкам; фигуры, обозначенные на плане скоростей и в сечении (S) тела одинаковыми буквами, будут при этом подобны и повернуты одна относительно другой на 90°.

Соотношения (3.15) и (3.16) позволяют построить план скоростей и определить скорость любой точки тела, если известны модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки этого тела.

Угловая скорость тела определяется по формуле (3.16) (если построен план скоростей).

План скоростей механизма строится как совокупность планов скоростей отдельных его звеньев (тел), причем все векторыскоростей откладываются от общего центра О (пример 11).

Рис. 3.33

Пример 11. Построить план скоростей механизма (рис. 3.33, а) для положения, изображенного на чертеже, если скорость v_A конца кривошипа О'А известна. Шатун ABC выполнен в виде жесткой треугольной пластины. Коромысло О"D соединено в точке D шарниром с серединой шатуна СЕ (CD = DE).

Решение.

1. Выбрав масштаб длин (например, 1 см чертежа соответствует 0,1 м), изобразим механизм в его заданном положении (рис. 3.33, а).

2. Определим v_B.

Выберем масштаб скоростей (например, в 1 см 0,5 м/сек) и отложим в этом масштабе от некоторого центра О вектор , направленный перпендикулярно к О'А (рис. 3.33, б). Из того же центра проведем прямую Оb, параллельную (скорость направлена по линии ВО'), а из точки а – прямую ab ^ AB до пересечения с линией Ob. Тогда точка b будет концом вектора .

3. Определим .

По теореме о скоростях точек твердого тела при плоском движении, имеем:

.

Из точки а проведем прямую, перпендикулярную АС, а из точки b – прямую, перпендикулярную BC. Пересечение этих перпендикуляров даст точку с. Соедив точки О и с, найдем вектор .

4. Определим .

Направление известно ( ^ O''D). При этом

.

Проведя из центра О прямую Оd, перпендикулярную О"D, а из точки с – линию, перпендикулярную СD, найдем в пересечении точку d. Соединив точки О и d, получим вектор .

5. Определим .

Точка E механизма лежит на прямой CDE, следовательно, по свойству подобия, точка е на плане скоростей также должна лежать на прямой cde. При этом, согласно (3.16), . Так как DE=CD, то, отложив на продолжении cd отрезок de=cd, найдем точку е. Соединив точки О и е, получим вектор .

Примечание. Соотношения (3.16) справедливы только для данного твердого тела. Так, например, отрезок be на плане скоростей не будет перпендикулярен ВЕ, так как точки В и Е механизма принадлежат разным твердым телам.

Угловые скорости пластины АВС,шатуна СDЕ и коромысла О"D в данный момент времени вычисляются по формулам:

,

,

.

При этом при вычислении всех величии следует учитывать масштабы.

Контрольные вопросы и задания

1. Перечислите основные виды движения твердого тела.

2. Дайте определение поступательного и вращательного движений твердого тела.

3. По каким формулам определяются модули угловой скорости и углового ускорения?

4. Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении тела вокруг неподвижной оси?

5. Какое движение твердого тела называется плоским?

6. Как определяется скорость любой точки плоской фигуры?

7. Что такое мгновенный центр скоростей? Как определить его положение?

8. Опишите частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей.

9. Что такое план скоростей? Какова методика его построения?

10. Какие минимальные данные необходимы для построения плана скоростей?

11. Сформулируйте теорему об ускорениях точек твердого тела при его плоском движении.

12. Как определить положение мгновенного центра ускорений?

4. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА

Дата добавления: 2015-07-08