Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью w ₁ вокруг оси , укрепленной на кривошипе bа (рис. 7.1), а переносное движение является вращением кривошипа bа вокруг оси с угловой скоростью w ₂.

Рис. 7.1

Если оси и параллельны, то движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям. Исследуем отдельно случаи, когда вращения направлены в одну и разные стороны.

Рис. 7.2

1. Вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение (S) тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 7.2). Следы осей в сечении (S) обозначим буквами А и В. Очевидно, что точка А как лежащая на оси Аа' получает скорость только от вращения вокруг оси Вb',следовательно, . Аналогично . При этом векторы и параллельны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в разные стороны. Тогда точка С (рис. 7.2) является мгновенным центром скоростей (), а следовательно, ось Сс', параллельная осям Аа' и Вb', является мгновенной осью вращения тела.

Для определения угловой скорости w абсолютного вращения тела вокруг оси Сс' и положения самой оси, т. е. точки С, воспользуемся равенством

.

Из свойств пропорции получим

.

Подставив в это и предыдущее равенства , , найдем окончательно:

, (7.1)

. (7.2)

Итак, если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным;положение этой оси определяется пропорцией (7.2).

С течением времени мгновенная ось вращения Сс' будет менять свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

2. Вращения направлены в разные стороны. Изобразим сечение (S) тела (рис. 7.3) и допустим для определенности, что w ₁ > w ₂.

Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, найдем, что скорости точек А и В будут численно равны: , ; при этом и параллельны друг другу и направлены в одну сторону. Тогда мгновенная ось вращения проходит через точку С (рис. 7.3), причем

или по свойствам пропорций

.

Рис. 7.3

Подставив в эти равенства значения и , найдем окончательно

, (7.3)

. (7.4)

Итак, в этом случае результирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг оси Сс',положение которой определяется пропорцией (7.4).

Полученные результаты показывают, что векторы угловых скоростей при вращении вокруг параллельных осей складываются так же, как векторы параллельных сил.

3. Пара вращений. Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны (рис. 7.4), но по модулю . Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы и образуют пару угловых скоростей. В этом случае получим, что и , т.е. = . Тогда мгновенный центр скоростей будет находиться в бесконечности, и все точки тела в данный момент будут иметь одинаковые скорости .

Рис. 7.4

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью v,численно равной и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и ; направление вектора определяется так же, как в статике определялось направление момента т пары сил. Иначе говоря, пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) движению со скоростью v, равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примером такого движения является поступательное движение велосипедной педали DE относительно рамы велосипеда (рис. 7.5), являющееся результатом относительного вращения педали вокруг оси А,укрепленной на кривошипе ВА,и переносного вращения кривошипа ВА вокруг оси В. Угловые скорости и этих вращений по модулю равны, так как в любой момент времени угол поворота j ₁ педали относительно кривошипа ВА равен углу поворота j ₂кривошипа. Скорость поступательного движения педали .

Рис. 7.5

Пример 13. Кривошип ОА,вращаясь вокруг оси О с угловой скоростью w_О в сторону вращения часовой стрелки, приводит в движение зубчатое колесо II, катящееся внутри неподвижного колеса III. Колесо II приводит в движение колесо I, находящееся с ним в зацеплении и вращающееся вокруг оси О ( рис. 7.6, a). Определить угловую скорость колеса I, если числа зубьев колес I и II соответственно равны z ₁и z ₂.

Рис. 7.6

Решение.

Разложим абсолютное вращение каждого колеса на два составляющих вращения: переносное вращение вместе с кривошипом вокруг оси О с угловой скоростью w_е = w_О и относительное вращение по отношению к кривошипу с угловой скоростью .

Двигаясь вместе с кривошипом, каждое колесо вращается вокруг его центра. Следовательно, относительное вращение каждого колеса происходит вокруг его центра, и относительные угловые скорости колес обратно пропорциональны радиусам колес или числам их зубьев.

Сначала устанавливаем относительную угловую скорость неподвижного колеса. Двигаясь вместе с кривошипом, неподвижное колесо вращается в направлении, обратном направлению вращения криво­шипа, причем модуль его угловой скорости (рис. 7.6, б).

Колеса II и III образуют внутреннее зацепление, поэтому направления их относительных вращений совпадают. Направления относительных вращений колес I и II противоположны, так как их зацепление внешнее.

Воспользуемся зависимостью между модулями относительных угловых скоростей:

;

.

Перемножив части равенств, получим

,

откуда

.

Дата добавления: 2015-07-08