Определение ускорений при сферическом движении

Теперь найдем ускорение точки М. Из равенства (4.3), дифференцируя его по времени, имеем:

.

Так как , а ,

то окончательно

. (4.4)

Ускорение называется вращательным, а ускорение – осестремительным ускорением точки М. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор (рис. 4.3), и по модулю равен ,

где h ₁– расстояние от точки М до вектора .

Вектор , перпендикулярный одновременно и , будет направлен вдоль МС (рис. 4.3), причем по модулю будет равен

,

так как = wh.

В случае сферического движения вектор угловой скорости тела вданный момент откладывается от неподвижной точки О вдоль мгновенной оси в ту сторону, чтобы, глядя с конца этого вектора, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки. Мгновенная ось представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент равны нулю.

Рис. 4.3

5. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ
СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по отношению к системе отсчета Оx ₁ y ₁ z ₁ (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Установим вид уравнений, определяющих закон рассматриваемого движения. Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси ,которые при движении тела будут перемещаться вместе с полюсом поступательно. Тогда положение тела в системе отсчета Оx ₁ y ₁ z ₁будет известно, если мы будем знать положение полюса А,т.е. его координаты x _{1 A}, y _{1 A}, z _{1 A} и положение тела по отношению к осям , определяемое углами Эйлера f, y, q, (рис. 5.2, где углы Эйлера не показаны, чтобы не затемнять чертеж). Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение по отношению к системе отсчета Оx ₁ y ₁ z ₁в любой момент времени, имеют вид:

(5.1)

Установим теперь геометрическую картину рассматриваемого движения. Нетрудно заметить, что элементарное перемещение свободного твердого тела слагается из поступательного перемещения вместе с полюсом А,при котором полюс приходит в соседнее положение А ₁,ииз некоторого перемещения по отношению к осям ,т.е. вокруг неподвижной точки А. Но последнее перемещение, согласно теореме Эйлера–Даламбера, представляет собой поворот вокруг мгновенной оси вращения АР,проходящей через точку А. Следовательно, любое элементарное перемещение свободного твердого тела слагается из элементарного поступательного перемещения вместе с полюсом А и элементарного поворота вокруг мгновенной оси вращения АР, проходящей через этот полюс. Поскольку движение тела представляет собой совокупность элементарных перемещений, то окончательно приходим к выводу, что в общем случае движение свободного твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный полюс А со скоростью v_А, и из серии элементарных поворотов с угловой скоростью w вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 5.2.)

Рис. 5.2

Такой будет, например, картина движения любого непоступательно перемещающегося в воздухе тела: брошенного камня, самолета, проделывающего фигуры высшего пилотажа, артиллерийского снаряда и т.д.

Поступательная часть движения свободного твердого тела описывается первыми тремя из уравнений (5.1), а вращение вокруг полюса – последними тремя из этих уравнений. Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость и ускорение полюса, определяющие скорость и ускорение поступательной части движения, а также угловая скорость и угловое ускорение вращения вокруг полюса. Значения этих величин в любой момент времени можно найти по уравнениям (5.1).

Скорость любой точки М тела, как и в случае плоскопараллельного движения (п. 3.2), складывается из скорости полюса А и скорости ,которую получает точка М при движении вместе с телом вокруг полюса А,т.е.

.

Справедливость этого результата доказывается так же, как в п. 3.2.

При этом, согласно формуле (3.4),

.

Таким образом, окончательно

. (5.2)

Аналогично для ускорения любой точки М тела найдем

. (5.3)

При этом величина определяется равенством (4.4), в котором надо считать

,

.

Контрольные вопросы

1. Какими параметрами определяется положение твердого тела, одна из точек которого неподвижна?

2. Как определяется модуль и направление скорости точки тела при его сферическом движении?

3. Как определяется модуль и направление ускорения точки тела при его сферическом движении?

4. Почему направление векторов вращательной скорости и вращательного ускорения при сферическом движении тела не совпадают?

5. На какие составляющие движения можно разложить движение свободного тела в общем случае? Как они зависят от выбора полюса?

6. Как определяют скорости точек свободного твердого тела?

7. Как связаны между собой скорости точек свободного тела, расположенных на отрезке произвольного направления, и на отрезке, параллельном мгновенной оси?

8. Докажите, что величина и направление векторов угловой скорости и углового ускорения свободного тела не зависят от выбора полюса.

9. Как определяют ускорения точек свободного твердого тела?

Дата добавления: 2015-07-08