Определение наращенной суммы

Рассматриваемые в вопросе понятия имеют практическое использование в расчетах по банковским вкладам (депозитам).

Срочный депозит – вклад, открытый на определенный срок, предполагающий уверенность вкладчика продержать денежные средства в течении всего периода вклада. Указанное обстоятельство создает возможности банку для среднесрочного инвестирования полученных средств и предполагает повышенную процентную ставку для вкладчика.

Вклад до востребования – как правило является счетом, открытым в банке организацией для перечисления заработной платы своим работникам и снимаемой ими с использованием пластиковых карт. На вклады до востребования могут перечисляться накопленные проценты, не капитализируемые по условиям договора с банком.

Деньги имеют временную стоимость, то есть рубль, полученный сегодня, стоит дороже, чем рубль, полученный завтра. И не только потому, что инфляция способна снизить его покупательскую способность, но и потому, что рубль, инвестированный сегодня, завтра принесет конкретную прибыль. Временная стоимость денег – важный аспект при принятии решений в финансовой практике вообще и при оценке инвестиций в частности.

Инвестиция в виде открытия депозита в кредитной организации предполагает получение дохода в виде процентов на вложенные средства. В практике банковских расчетов используется понятие простых и сложных процентов.

Открытие вклада с простыми процентами предполагает начисление процентов в течение всего периода вклада исключительно на первоначально вложенную сумму. Таким образом проценты, как правило переводятся со срочного депозита на текущий счет (до востребования) и могут быть сняты вкладчиком, непосредственно после начисления.

Расчет наращенной суммы (т.е. денежных средств, полученных в результате добавления к основной сумме вклада накопленных процентов) при использовании простых процентов производят по формуле 44:

(44)

Где S – наращенная сумма, P – первоначальная сумма вклада, i – годовая процентная ставка, n – количество лет вклада

Пример: Вкладчик внес в банк 500 руб. под 10% годовых сроком на 6 месяцев. Начисление осуществляется по схеме простых процентов. Определим величину наращенной суммы на момент окончания вклада.

S=500*(1+0,1*0,5)=525 тыс. руб.

Подобный пример является упрощенным, поскольку на практике банк, как правило, начисляет проценты исходя из фактического количества дней, относящихся к периоду начисления. В этом случае формула 44 несколько трансформируется:

(45)

Где m – число дней, соответствующее периоду начисления процентов. В частности, если проценты начисляются ежемесячно m=28,29,30,31 (указано число дней в соответствующем месяце) j-ый месяц – завершающий месяц вклада. В периоды начисления процентов, относящиеся к високосном году в формуле используется база 366 дней.

Пример: 07.09.2011 г. вкладчик внес в банк 500 000 руб. под 10% годовых на 6 месяцев. Начисление осуществляется по схеме простых процентов ежемесячно с возможностью расхода накопленных процентов. Определим величину процентов по каждому месяцу, а затем значение наращенной суммы через 0,5 года.

Для расчетов удобно воспользоваться таблицей сформированной в среде МS «Excel».

Таблица 26

Алгоритм расчета процентов по депозиту

Период начисления процентов	Сумма процентов	Алгоритм расчета
07.09.2011-05.10.2011 (30 дней)	4109,59	500000*0,1/365*30
06.10.2011-05.11.2011 (31 дней)	4246,58	500000*0,1/365*31
06.11.2011-05.12.2011 (30 дней)	4109,59	500000*0,1/365*30
07.12.2011-31.12.2012 (25 дней)	3424,66	500000*0,1/365*25
01.01.2012-06.01.2012 (6 дней)	819,67	500000*0,1/366*30
06.01.2012-05.02.2012 (31 день)	4234,97	500000*0,1/366*31
Итого сумма процентов	20945,06
Итого наращенная сумма	520945,06

Расчеты на основе сложного (кумулятивного) процента означают, что начисленные на первоначальную сумму проценты к ней присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится уже на наращенную сумму. Процесс наращения капитала в этом случае происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам называют капитализацией. В финансовых и экономических терминах капитализация определяется как ставка дохода на вложенный капитал. При оценке недвижимости и инвестиций данный термин приобретает несколько иное значение.

Различают годовую капитализацию (процентный платеж начисляется и присоединяется к ранее наращенной сумме в конце года), полугодовую, квартальную, месячную и ежедневную.

Расчет наращенной суммы по сложным процентам производится по формуле 2:

(46)

Где S- наращенная сумма;

P - первоначальная сумма, на которую начисляются проценты;

I - ставка сложного процента, выраженная в десятичной дроби;

N - число лет, в течение которых начисляются проценты.

Величина называется множителем наращения сложных процентов. Она показывает, на сколько увеличится одна денежная единица при наращении на нее процентов по ставке «i» в течение «n» лет.

Приведем пример использования формулы для расчета наращенной суммы по сложному проценту.

Пример: Вкладчик внес в банк 500 000 руб. под 10% годовых сроком на 4 года. Начисление осуществляется по схеме сложных процентов. Определим величину наращенной суммы на момент окончания вклада.

S=500*(1+0,1)⁴=732,05 тыс. руб.

Причина возведения показателя в степень обусловлена тем, что наращение суммы на множитель (1+i), каждый последующий период начисления процентов, происходит на первоначальную сумму с учетом накопленных процентов. В частности по итогам второго года приращение вклада на множитель (1+0,1) будет происходить с величины 500* (1+0,1), т.е. с суммы первоначального вклада с накопленными процентами за второй год.

Вместе с тем, как ранее указывалось, начисление процентов производится не один раз в год, а значительно чаще. В договоре обязательно указывается число периодов (m) начисления % в году. Тогда для расчета используется формула:

(47)

где

i- номинальная годовая % - ная ставка;

m- число периодов начисления % в году;

n - число лет;

m*n - число периодов начисления % за весь срок депозита.

Пример: Депозит в размере 500 000 руб. внесен в банк на 3 года под 10% годовых; начисление процентов производится ежеквартально. Определим наращенную сумму при условии, что депозит срочный (то есть проценты не снимаются вкладчиком).

=672440 руб.

Таким образом, 672440 руб. будет получено вкладчиком по истечении трех лет. Эта величина включает первоначально внесенные 500 000 руб. и %, которые начислялись по сложной «схеме» - т.е. проценты на проценты.

При увеличении числа периодов начисления процентов (m) возрастает темп процесса наращения. Так, например, если исходя из условий предыдущей задачи, начисление процентов производить ежемесячно, то наращенная сумма будет равна:

=685000 руб. т.е. чем чаще начисляются проценты, тем больше итоговая сумма вклада.

По формулам 46 и 47 мы осуществляли дискретное наращение процентов, то есть проценты начислялись раз в год, в квартал или месяц. Непрерывное начисление процентов предполагает, что проценты начисляются на возможно наиболее короткий период времени. Хотя имеется в виду, что этот период будет бесконечно коротким, наиболее точным приближение непрерывного начисления процентов является ежедневное начисление. При этом для определения наращенной суммы можно использовать формулу 47.

Так при годовой ставке 10 % и продолжительности года в 365 дней, коэффициент (множитель) наращения будет равен:

Таким образом, годовой прирост в условиях капитализации начисленных процентов составляет 10,5%

Приведенные выше механизмы определения наращенной суммы в условиях начисления сложных процентов рассмотрены для отражения базовых алгоритмов расчета. Следует помнить, что в практических условиях расчеты могут иметь некоторые особенности. Во-первых как и в случае с простыми процентами начисление процентов за месяц, квартал, как правило производится исходя их фактического количества дней в месяце (квартале).

Предположим,05.09.2011 г. вкладчик открыл срочный депозит в АКБ «Спурт» в размере 250 000 руб. сроком на 900 дней под 9,5 процентов годовых. Начисление процентов производится ежемесячно. В соответствии с выбором, представляемым банком вкладчик предпочел капитализировать, а не снимать начисленные проценты. Таким образом, наращение вклада происходит по схеме сложных процентов. Вместе с тем вкладом предусмотрено, что при досрочном закрытии вклада (до истечения 900 дней с момента его открытия) начисленные проценты пересчитываются по более низкой ставке. В частности, закрыв депозит 17.10.2012 проценты, причитающиеся вкладчику за период фактического нахождения средств на счете с учетом капитализации будут рассчитываться по ставке 8,25% годовых.

Как и в предыдущем случае для расчетов удобно воспользоваться таблицей сформированной в среде МS «Excel».

Таблица 27

Алгоритм расчетов по депозиту

Период начисления процентов	Процент при ставке 9,5%	Алгоритм расчета	Процент при ставке 8,25%^*
06.09.2011-05.10.2011 (30 дней)	1952,05	250000*0,095/365*30	1695,21
06.10.2011-05.11.2011 (31 дней)	2032,87	(250000+1952,05)*0,095/365*31	1763,59
06.11.2011-05.12.2011 (30 дней)	1983,17	(250000+1952,05+2032,87)*0,095/365*30	1718,66
06.12.2011-31.12.2011 (26 дней)	1732,17	(250000+1952,05+2032,87+1983,17)*0,095/365*26	1499,60
01.01.2012-05.01.2012 (5 дней)	334,45	(250000+1952,05+2032,87+1983,17+1732,17)*0,095/366*5	289,29
06.01.2012-05.02.2012 (31 день)	2076,26	аналогично	1795,61
06.02.2012-05.03.2012 (29 дней)	1957,94	аналогично	1691,50
06.03.2012-05.04.2012 (31 день)	2108,72	аналогично	1819,97
06.04.2012-05.05.2012 (30 дней)	2057,12	аналогично	1773,57
06.05.2012-05.06.2012 (31 день)	2142,24	аналогично	1845,08
06.06.2012-05.07.2012 (30 дней)	2089,82	аналогично	1798,04
06.07.2012-05.08.2012 (31 день)	2176,30	аналогично	1870,54
06.08.2012-05.09.2012 (31 день)	2193,81	аналогично	1883,61
06.09.2012-05.10.2012 (30 дней)	2140,12	аналогично	1835,59
06.10.2012-17.10.2012 (12 дней)	-	(250000+накопленные проценты, указанные в предыдущих строках таблицы)*0,02/366*12	179,20
Сумма процентов всего	26977,05	-	23459,05

^*- расчет показателей столбца 4 происходит по алгоритму, аналогичному начислению процентов по ставке 9,5% с изменением ставки на 8,25%

Выделение периода 06.12.2011-31.12.2011 связано с тем, что 2011 год високосный (366 дней), что определяет изменение ежедневной процентной ставки.

Отметим, что расчет процентов за неполный месяц нахождения средств на вкладе, также производится, однако он осуществляется по ставке депозита до востребования (2% годовых).

Таким образом сумма, получаемая вкладчиком в случае изъятия денежных средств по состоянию на 17.10.2012 г., составит 250 000+23459,05=273459,05 рублей.

Кроме номинальной ставки существует понятие эффективной или действительной процентной ставки.

Эффективная ставка – измеряет тот относительный доход, который получает владелец капитала в целом за год. Иначе говоря, она отвечает на вопрос: какую годовую ставку процента необходимо установить, чтобы получить такую же выгоду, как и при m – разовом начислении процента в году по ставке i/m. Эффективная ставка сложных процентов определяется по формуле (48):

-1 (48)

Пример: Определим эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки i=18, при ежеквартальном начислении процентов (m=4):

(19,25%)

Проверим этот расчет: предположим, что внесен вклад 4000 тыс. руб. по ставке 19,25% годовых при начислении сложных процентов ежегодно на срок 2 года.

Наращенная сумма будет равна:

Изменим условия примера: вклад 4000 тыс. руб. вносится на 2 года под 18% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов.

В этом случае:

На практике необходимость понимания эффективной процентной ставки может быть связана с изменением номинальной ставки в течении периода вклада.

Рассмотрим практический пример. На сайте rbc.ru в разделе вклады мы видим информацию о том, что один из банков, предоставляет возможность открытия срочного депозита сроком на 1 год, номинальной процентной ставкой 12,5% годовых при минимальной сумме вклада 5000 руб. В соответствии с современной конъюнктурой указанное предложение является достаточно интересным.

Вместе с тем, обратившись к официальной информации банка, мы видим, что ситуация несколько иная.

В частности проценты за каждый период нахождения вклада учитываются по отдельной номинальной годовой ставке

Таблица 28

Номинальная годовая процентная ставка по депозиту

Период хранения денежных средств	Номинальная годовая процентная ставка
	5,75%
с 16 по 30	6,00%
с 31 по 45	6,25%
с 46 по 60	6,50%
…..	…..
……	……
с 346 по 360	12,50%

Таким образом, для вклада 100000 рублей, открытого на 360 дней 01.01.2012 года расчет наращенной суммы будет проводиться по формуле:

Очевидно указанная сумма значительно меньше величины, которая ожидается вкладчиками при начислении процентов по ставке 12,5 % годовых при капитализации начисленных процентов каждые 15 дней:

Дата добавления: 2015-07-08