Элементарные методы обработки рядов динамики

Динамический или временной ряд — это совокупность значений изу­чаемого показателя, относящихся к некоторым последовательным интер­валам или моментам времени; в первом случае ряд называется интерваль­ным, во втором — моментным. Временной интервал, заложенный в осно­ву ряда, чаще всего предполагается постоянным (год, месяц, день и т.п.).

Пример интервального ряда: данные о годовом товарообороте магазина за ряд лет; пример моментного ряда: данные о стоимости основных средств данного магазина на начало года за ряд лет.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно мож­но подразделить на три группы:

1. факторы, формирующие тенденцию ряда;

2. факторы, формирующие циклические колебания ряда;

3. случайные факторы.

При различных сочетаниях этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать разные формы.

Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. По всей видимости, эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они форми­руют его возрастающую или убывающую тенденцию, т.е. устойчивое изменение во времени.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезон­ный характер, поскольку экономическая деятельность ряда от­раслей зависит от времени года (например, цены на сельскохо­зяйственную продукцию в летний период ниже, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъ­юнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой нахо­дится экономика страны.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и цик­лическую компоненту, а каждый следующий их уровень определяет случайная компонента.

Очевидно, что реальные данные не соответствуют полно­стью ни одной из описанных выше моделей. Чаще всего они со­держат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендо­вой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компо­нент, называется аддитивной моделью временного ряда.

Аддитивная модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид аддитивной мо­дели выглядит так:

Y=T+S+E (23)

Мультипликативная модель предполагает, что каждый уровень времен­ного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент.

Y=T*S*E (24)

Выбор одной из двух моделей проводится на основе анализа структуры сезонных ко­лебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрас­тает или уменьшается, строят мультипликативную модель вре­менного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от зна­чений сезонной компоненты.

Иллюстративно это выглядит следующим образом:

Рис.2 Визуальная интерпретация мультипликативной и аддитивной моделей

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T,S и Е для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

Шаг 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

Шаг 2. Расчет значений сезонной компоненты S.

Шаг 3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т + Е) в адди­тивной или (Т*Е) в мультипликативной модели.

Шаг 4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного урав­нения тренда.

Шаг 5. Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т*S)

Шаг 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Рассмотрим методику построения аддитивной модели вре­менного ряда на примере.

Обратимся к условным данным объема продаж ОАО «Нэфис косметикс» синтетического моющего средства Sorti Automat Inteltest через дистрибьютерскую сеть центрального региона в 2009-2012 г.г.. Предположим, предприятие условно подразделяет производимую продукцию на нижний, средний и верхний ценовой уровни, динамика продаж изделий каждого уровня отличается в зависимости от географических сегментов сбыта, каналов дистрибуции и т.д, поэтому для целей прогнозного анализа целесообразно раздельное изучение показателей тренда для каждого из наименований выпускаемой продукции в разрезе указанных критериев.

Таблица 9

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели в 2009-2012 г.г.

Номер кварта­ла	Объем продаж, млн. руб.	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за че­тыре квартала	Сглаженная скользящая средняя	Оценка се­зонной ком­поненты
1	2	3	4	5	6
	6,0	-	-	-	-
	4,4	24,4	6,10	-	-
	5,0	25,6	6,40	6,250	-1,250
	9,0	26,0	6,50	6,450	2,550
	7,2	27,0	6,75	6,625	0,575
	4,8	28,0	7,00	6,875	-2,075
	6,0	28,8	7,20	7,100	-1,100
	10,0	29,6	7,40	7,300	2,700
	8,0	30,0	7,50	7,450	0,550
	5,6	31,0	7,75	7,625	-2,025
	6,4	32,0	8,00	7,875	-1,475
	11,0	33,0	8,25	8,125	2,875
	9,0	33,6	8,40	8,325	0,675
	6,6	33,4	8,35	8,375	-1,775
	7,0	-	-	-	-
	10,8	-	-	-	-

Графическая интерпретация продаж демонстрирует сезонные колебания, которые можно признать равномерными. Объемы продаж в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По графику этого ряда (см. рис.3) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельст­вует о соответствии этого ряда аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

- просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и опреде­лим условные годовые объемы продаж гр.3 табл.9);

- разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.4 табл.9). Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

- приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - сглаженные скользя­щие средние (гр.5 табл.9).

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и сглаженными скользя­щими средними (гр.6 табл. 9.). Используем эти оценки для рас­чета значений сезонной компоненты S (табл.10).

Таблица 10

Расчет значений сезонной компоненты в аддитив­ной модели

	Год	Квартал
I	II	III	IV
			-1,25	2,55
	0,575	-2,075	-1,1	2,7
	0,55	-2,025	-1,475	2,875
	0,675	-1,775
Итого за квартал	1,8	-5,875	-3,825	8,125
Средняя	0,6	-1,95833	-1,275	2,708333
Скорректированная средняя	0,58125	-1,97708	-1,29375	2,689583

Определим за каждый квартал (по всем годам) средние оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Для данной модели имеем:

0,6 - 1,958 - 1,275 + 2,708 = 0,075.

Определим корректирующий коэффициент:

к = 0,075 /4 = 0,01875.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компо­ненты как разность между ее средней оценкой и корректирую­щим коэффициентом к:

(25)

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезон­ной компоненты:

0,581 - 1,977 - 1,294 + 2,690 = 0.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал: S₁ = 0,581;

2 квартал: S₂ = -1,977;

3 квартал: S₃ = -1,294;

4 квартал: S₄ = 2,690.

Занесем полученные значения в табл.11 для соответст­вующих кварталов каждого года.

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вы­читая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим: Т + Е = у - S (табл.11). Эти значения рассчитыва­ются для каждого момента времени и содержат только тенден­цию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + Е) с помощью линейного тренда.

В специализированной литературе достаточно подробно рассматриваются статистические методы выбора одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда и оценки параметров выбранных кривых ^[1]. В этой связи мы не будем вдаваться в суть указанного инструментария, а рассмотрим упрощенный алгоритм определения уравнения динамики трендовой составляющей динамического ряда (Т) средствами MS «Excel».

Для проведения прогноза в Excel, где построена линейная диаграмма по таблице 9, на базе линии сглаженной скользящей средней, отражающей наиболее общую сложившуюся динамику продаж определяется линия тренда. Щелкнув правой кнопкой мыши на линии центрированной средней диаграммы, пользователь увидит, что система предложит на выбор прогнозирование при помощи степенной, логарифмической, линейной, экспоненциальной, полиномиальной функций. То уравнение, которое имеет коэффициент аппроксимации R² наиболее близкий к 1, отражает динамику продаж максимально точно – его уравнение и используется для прогнозирования.

В данном случае нами был выбран для использования линейный тренд, как имеющий высокую степень аппроксимации.

Рис.3 Объем продаж Sorti Automat Inteltest через дистрибьютерскую сеть центрального региона

Таким образом, имеем линейный тренд:

Y= 0,201x + 5,6564

Подставив в это уравнение значения t = 1,..., 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (5 гр. в табл.11). Гра­фик уравнения тренда приведен на рис.1.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по ад­дитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения се­зонной компоненты для соответствующих кварталов. Графиче­ски значения T+S представлены на рис.3.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитив­ной модели расчет ошибки проводится по формуле

E=Y-(T+S) (26)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл.11. Эту же ошибку можно опре­делить как разность между значениями (Т + Е) и Т.

Таблица 11

Расчет выровненных значений и ошибок в адди­тивной модели

t	y	S	T+E=y-S	Т	T+S	E=y-(T+S)	Et/yt
			4 (2-3)		6 (5+3)	7(2-6)	8(7/2)
		0,58125	5,41875	5,8574	6,43865	-0,43865	-0,07311
	4,4	-1,97708	6,37708	6,0584	4,08132	0,31868	0,072427
		-1,29375	6,29375	6,2594	4,96565	0,03435	0,00687
		2,689583	6,310417	6,4604	9,149983	-0,14998	-0,01666
	7,2	0,58125	6,61875	6,6614	7,24265	-0,04265	-0,00592
	4,8	-1,97708	6,77708	6,8624	4,88532	-0,08532	-0,01777
		-1,29375	7,29375	7,0634	5,76965	0,23035	0,038392
		2,689583	7,310417	7,2644	9,953983	0,046017	0,004602
		0,58125	7,41875	7,4654	8,04665	-0,04665	-0,00583
	5,6	-1,97708	7,57708	7,6664	5,68932	-0,08932	-0,01595
	6,4	-1,29375	7,69375	7,8674	6,57365	-0,17365	-0,02713
		2,689583	8,310417	8,0684	10,75798	0,242017	0,022002
		0,58125	8,41875	8,2694	8,85065	0,14935	0,016594
	6,6	-1,97708	8,57708	8,4704	6,49332	0,10668	0,016164
		-1,29375	8,29375	8,6714	7,37765	-0,37765	-0,05395
	10,8	2,689583	8,110417	8,8724	11,56198	-0,76198	-0,07055

На основании полученных данных спрогнозируем объем продаж в первом и втором квартале 2013 года (17 и 18 периодах).

Y= 0,201x + 5,6564

Y₁₇=0,201*17+5,6564 = 9,0734 млн. руб.

Y₁₈=0,201*18+5,6564 = 9,2744 млн. руб.

Значения сезонной компоненты равны S₁=0,581 (1 квартал) и S₂=-1,977 (2 квартал). Таким образом,

Y_{17 корр.}= 9,0734+0,581= 9,6544 млн. руб.

Y_{18 корр.} =9,2744-1,977 = 7,2974 млн. руб.

Точность построенной модели можно определить при помощи показателя средней (по модулю) относительной ошибки, которая вычисляется по формуле:

(27)

В нашем примере Е_отн=0,463921/16*100 =2,89%

Величина 0,463921 получена суммированием показателей столбца 9 таблицы 11 по модулю.

Таким образом, значение объема продаж, рассчитанные с использованием уравнения временного тренда, скорректированного на показатель сезонности, отличаются от фактических значений уровней динамического ряда в среднем на 2,89%, что, в целом, положительно характеризует качество проведенного прогноза.

Как было ранее отмечено, мо­дель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативиой мо­делью временного ряда.

Рассмотрим методику построения мультипликативной мо­дели временного ряда на примере.

Пусть имеются поквартальные данные о при­были от продаж жидких моющих средств ОАО «Нэфис Косметикс» за 2009-2012 г.г. (табл. 12).

График данного временного ряда (рис.4) свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период колебаний равен четы­рем) и общей убывающей тенденции ряда. Прибыль компании в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. По­скольку амплитуда сезонных колебаний уменьшается можно предположить наличие мультипликативной модели. Определим ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом этапе, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели. Результаты расчетов представлены в табл.12

Таблица 12

Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели в 2009-2012 г.г.

Номер кварта­ла	Прибыль продаж, млн. руб.	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за че­тыре квартала	Сглаженная скользящая средняя	Оценка се­зонной ком­поненты
1	2	3	4	5	6
		-	-	-	-
			81,5	-	-
				81,25	1,1077
					0,8000
			76,5	77,75	0,9003
				75,75	1,2145
					1,0811
				71,5	0,8112
				68,5	0,9051
			64,5	65,75	1,2167
				63,25	1,0751
				59,5	0,8067
			52,5	54,75	0,9498
				50,25	1,1940
		-	-	-	-
		-	-	-	-

Рис.4 При­быль от продаж жидких моющих средств ОАО «Нэфис Косметикс» за 2009-2012 г.г.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на сглаженные скользя­щие средние (гр.6 табл.12). Используем эти оценки для расчета сезонной компоненты S (табл.13). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S_i. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле, т.е. четырем, так как в нашем случае число периодов одного цикла (год) равно четырем кварталам.

Таблица 13

Расчет значений сезонной компоненты в мультип­ликативной модели

	Год	Квартал
I	II	III	IV
			1,10769231	0,8
	0,90032154	1,21452145	1,08108108	0,81118881
	0,9051	1,2167	1,0751	0,8067
	0,9498	1,1940
Итого за квартал	2,75520272	3,62528134	3,2638722	2,4179115
Средняя	0,91840091	1,20842711	1,0879574	0,8059705
Скорректированная средняя	0,91365994	1,20218898	1,08234115	0,80180992

Для данной модели имеем:

0,918 + 1,208 + 1,088 + 0,806 = 4,021.

Нескорректированные средние показывают отклонения фактических значений прибыли от продаж от скользящей средней и отражают как сезонную, так и остаточную вариации. Нас же интересует только остаточная вариация, так, что мы должны скорректировать средние для удаления элемента остаточной вариации. Как было указано, в долгосрочном плане величина превышения прибыли от продаж над трендом в удачные кварталы должна уравниваться с величиной, на которую прибыль от продаж ниже тренда в неудачные кварталы, чтобы сезонные компоненты в сумме составили примерно 4. В данном случае нескорректированные средние в сумме составляют 4,021.

Мы должны умножить каждое среднее значение на корректирующие значения, чтобы в сумме средние давали 4.

Рассчитаем корректирующий коэффициент: к=4/4,021 =0,995.

Определим скорректированные значения сезонной компо­ненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэф­фициент к:

(28)

Проверим условие равенства четырем суммы значений се­зонной компоненты:

0,914 + 1,202 + 1,082 + 0,802 = 4.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал: S₁ = 0,914;

2 квартал: S₂ = 1,202;

3 квартал: S₃ = 1,082;

4 квартал: S₄ = 0,802.

Занесем полученные значения в табл.14 для соответст­вующих кварталов каждого года.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соот­ветствующее значение сезонной компоненты. Получим: Т * Е = Y / S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 14

Расчет выровненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

t	y	S	Т*Е = Y/S	Т	T*S	Et =у -(Т*S)	Et/Y
			4 (2/3)		6 (5*3)	7 (2-6)	8(7/2)
		0,91366	78,80394	89,1309	81,44	-9,43533	-0,13105
		1,202189	83,1816	86,3818	102,21	-2,21000	-0,0221
		1,082341	83,15308	83,6327	89,02	0,98000	0,010889
		0,80181	79,81942	80,8836	63,72	0,28000	0,004375
		0,91366	76,61494	78,1345	70,08	-0,08000	-0,00114
		1,202189	76,52707	75,3854	88,87	3,13000	0,034022
		1,082341	73,91385	72,6363	77,01	2,99000	0,037375
		0,80181	72,33635	69,8872	54,83	3,17000	0,054655
		0,91366	67,85895	67,1381	59,94	2,06000	0,033226
		1,202189	66,54528	64,389	75,54	4,46000	0,05575
		1,082341	62,82677	61,6399		3,00000	0,044118
		0,80181	59,86456	58,8908	45,93	2,07000	0,043125
		0,91366	56,91395	56,1417	49,81	2,19000	0,042115
		1,202189	49,90896	53,3926	62,2	-2,20000	-0,03667
		1,082341	46,19616	50,6435		-3,00000	-0,06
		0,80181	37,41535	47,8944	37,04	-7,04000	-0,23467

Аналогично случаю с аддитивной модели определим уравнения тренда на базе сглаженной скользящей средней средствами Excel.

Выберем в качестве уравнения тренда линейную функцию, как имеющую высокий коэффициент аппроксимации R²

Y=-2,7491х+91,888

Значения столбца 5 таблицы 14 получаются путем подстановки в указанное уравнения номера соответствующего квартала.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значение сезонной компоненты для соответствующих кварталов (см. рис.4).

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели как и в предыдущем случае производится по формуле

(29)

На основании полученных данных спрогнозируем прибыль от продаж в первом и втором квартале 2013 года (17 и 18 периодах).

Y₁₇ = -2,7491*17+91,888 = 45,1453

Y₁₈ = -2,7491*18+91,888 = 42,3962

Y_{17 корр.}= 45,1453*0,914=41,263 млн. руб.

Y_{18 корр.} =42,3962*1,202 = 50,96 млн. руб.

Точность построенной модели можно определить при помощи показателя средней (по модулю) относительной ошибки, которая вычисляется по формуле 27:

В нашем примере Е_отн=0,84528/16*100 =5,283%

Величина 0,84528 получена суммированием показателей столбца 8 таблицы 14 по модулю.

Дата добавления: 2015-07-08