Нелинейных системах методом динамики средних

Уравнения метода динамики средних получены на основе линейной модели системы в виде (4.27). Тем не менее этот метод в аналогичной форме может быть применен и к нелинейной системе в сочетании с методом статистической линеаризации. Для этого модель нелинейной системы должна быть представлена в канонической форме:

i= 1,2,..., n,(4.35)

где j _i – нелинейные функции; X_i – фазовые переменные системы; U_i – входные сигналы – белые шумы с математическими ожиданиями и матрицей интенсивностей (4.13). При такой форме модели входными сигналами нелинейностей являются фазовые переменные системы, которые будем рассматривать в виде сумм математических ожиданий и центрированных случайных составляющих:

.

После статистической линеаризации содержащихся в уравнениях (4.35) n нелинейностей модель примет вид

i= 1,2,..., n,(4.36)

где – средние статистические характеристики нелинейностей, – коэффициенты усиления нелинейностей по случайным составляющим входных сигналов, – вектор математических ожиданий фазовых переменных; – матрица корреляционных моментов связи фазовых переменных вида (4.12).

Коэффициенты статистической линеаризации j _{i 0} и k_ij определяются для каждой нелинейности j _i на основе (4.22) или других полученных в подразд. 4.3 соотношений.

После усреднения уравнений (4.36) по множеству реализаций получим систему уравнений для определения математических ожиданий фазовых переменных:

i= 1,2,..., n. (4.37)

После вычитания уравнений (4.37) из соответствующих уравнений (4.36) получим систему уравнений для центрированных случайных составляющих фазовых переменных:

i= 1,2,..., n. (4.38)

Теперь, выполнив преобразования, аналогичные примененным к системе (4.30), получим систему уравнений для корреляционных моментов связи фазовых переменных:

i= 1,2,... n; j= 1,2,... n. (4.39)

Полученные системы уравнений (4.37) и (4.39) справедливы как для стационарных, так и для нестационарных систем и формально аналогичны уравнениям динамики средних линейной системы (4.29), (4.32). Но здесь коэффициенты уравнений j _{i 0} и k_ij, в отличие от a_ij, зависят от текущих значений решений уравнений. То есть, в строгом смысле, уравнения (4.37) и (4.39) являются нелинейными. Поэтому для их решения даже в простейших случаях требуется применение численных методов. При этом на каждом шаге интегрирования необходимо определять новые значения коэффициентов j _{i 0} и k_ij путем решения систем нелинейных уравнений для определения коэффициентов статистической линеаризации с учетом текущих значений и θ _ij.

Дата добавления: 2015-11-04