|
Читайте также: |
Принятое в рассмотренном выше примере допущение о статистической независимости случайных параметров модели позволило обеспечить использование для каждого из них самостоятельного генератора случайных чисел. В общем случае приходится иметь дело с совокупностью статистически зависимых случайных параметров. Тогда возникает задача моделирования системы случайных величин, или случайного вектора.
Случайным вектором (системой случайных величин, многомерной случайной величиной) называется упорядоченный набор случайных величин X = (X 1, X 2,…, Xn). Составляющие случайного вектора (случайные координаты) X 1, X 2,…, Xn являются одномерными случайными величинами.
Рассмотрим основные характеристики случайных векторов [20], используемые при моделировании. Ограничимся случаем, когда координаты являются непрерывными случайными величинами.
Функция распределения вероятностей случайного вектора X представляет собой n -мерную функцию совместного распределения его координат:
Fx (x 1, x 2,… xn)= P (X 1< x 1, X 2< x 2,…, Xn < xn). (3.35)
Аналогичный смысл имеет плотность распределения:
. (3.36)
Для некоторой подсистемы m<n координат вектора X 1, X 2,…, Xm по (3.35), (3.36) могут быть определены маргинальные ФРВ и ПРВ, например:
;
. (3.37)
При m =1 получим безусловные ФРВ и ПРВ случайной координаты.
Кроме того, рассматриваются условные ПРВ одной или нескольких случайных координат, связанные с (3.36), (3.37) следующим образом:
, (3.38)
. (3.39)
Особое практическое значение имеют вектор математических ожиданий координат случайного вектора 
, где
, i= 1,2,... n,(3.40)
и матрица корреляционных моментов связи, называемая чаще просто матрицей моментов:
. (3.41)
Диагональные элементы матрицы (3.41) представляют собой дисперсии случайных координат:
,
i= 1,2,..., n.
Остальные элементы - корреляционные моменты связи случайных координат, или ковариации:
, i= 1,2,..., n; j= 1,2,..., n; i ¹ j,
причем q ij =q ji, то есть матрица (3.41) - является симметричной.
Если закон распределения координат случайного вектора нормальный, он полностью задается вектором математических ожиданий и матрицей моментов.
В частном случае, когда координаты случайного вектора статистически независимы, их совместный закон распределения полностью определяется индивидуальными законами распределения отдельных координат, а для ФРВ и ПРВ имеют место соотношения:
Fx (x 1, x 2,… xn)= F 1(x 1) F 2(x 2)… Fn (xn),
fx (x 1, x 2,… xn)= f 1(x 1) f 2(x 2)… fn (xn).
Соответствующим образом упрощаются соотношения (3.37)-(3.40), а все элементы матрицы (3.41), кроме расположенных на главной диагонали, обращаются в ноль.
Рассмотрим некоторые наиболее известные методы моделирования случайных векторов.
3.9.1. Метод условных распределений
На основе (3.37)-(3.39) совместная многомерная ПРВ статистически зависимых координат n -мерного случайного вектора может быть выражена через одномерные ПРВ отдельных координат:
fx (x 1, x 2,… xn)= f 1(x 1) f 2(x 2ê x 1)… fi (xi ê x 1, x 2,…, xi -1)… fn (xn ê x 1, x 2,…, xn -1),
где безусловная ПРВ координаты x 1 определяется аналогично (3.37):
, (3.42)
условная ПРВ координаты x 2 определяется после выполнения (3.37), (3.42):
,
условные ПРВ остальных координат определяются по соотношениям:
, i= 3,... n.
Процедура формирования реализаций случайного вектора включает в себя следующие этапы:
1. В соответствии с безусловной ПРВ f 1(x 1) одним из рассмотренных в подразд. 3.5 способов генерируется значение x 1 j.
2. На основе условной ПРВ f 2(x 2ê x 1)определяется конкретный вариант закона распределения координаты x 2, соответствующий x 1= x 1 j:
.
3. В соответствии с ПРВ f 2(x 2ê x 1 j)генерируется значение x 2 j.
4. На основе условной ПРВ f 3(x 3ê x 1, x 2)определяется конкретный вариант закона распределения координаты x 3 f 3(x 3ê x 1 j, x 2 j).
5. В соответствии с ПРВ f 3(x 3ê x 1 j, x 2 j)генерируется значения x 3 j и так далее.
В результате получается одна псевдослучайная реализация вектора X - 
.
Рассмотренный метод универсален, но требует большой и тщательной подготовительной работы. Чаще всего условные ПРВ не удается получить в аналитическом виде и приходится использовать приближенные методы. Тогда при реализации генератора на ЦВМ требуется большой объем оперативной памяти для хранения многомерных массивов условных ПРВ и значительные затраты машинного времени на многократное выполнение процедур интерполяции. Поэтому данный метод обычно применяют только для случайных векторов малой размерности.
3.9.2. Методы преобразования случайных координат
Большая группа методов моделирования случайных векторов предусматривает формирование требуемых реализаций путем преобразования некоторого исходного вектора со статистически независимыми координатами. Рассмотрим подробно наиболее распространенный на практике метод линейного преобразования. Данный метод обеспечивает выработку реализаций случайного вектора X по заданным для его координат вектору математических ожиданий 
и матрице моментов Kx.
Линейное преобразование n -мерного вектора U в n -мерный вектор X задается некоторой матрицей размерностью 
: X= A U.
Пусть координаты случайного вектора U - статистически независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Тогда его матрица моментов (3.41) представляет собой единичную матрицу:
. (3.43)
Для получения из такого вектора U случайного вектора X с заданной матрицей моментов Kx и нулевыми математическими ожиданиями всех координат обычно используют треугольную матрицу:
,
x 1= a 11 u 1,
x 2= a 21 u 1+ a 22 u 2,
...
xn = an 1 u 1+ an 2 u 2+…+ annun. (3.44)
Элементы матрицы A (коэффициенты преобразования) могут быть найдены следующим образом. Выразим с учетом (3.43), (3.44) дисперсии и корреляционные моменты связи составляющих вектора X через коэффициенты преобразования:
,
K 12 = M [ a 11 u 1(a 21 u 1+ a 22 u 2)] = a 21 a 11,
и так далее.
Отсюда
,
,
.
Аналогично могут быть получены элементы всей матрицы A для любой размерности вектора X.
Если заданы ненулевые математические ожидания координат, для получения вектора X выполняется преобразование X= A U+ :
,
,
...
.
При наличии соответствующего программного обеспечения можно использовать тот факт, что матрица A является решением уравнения AAт= Kx [46].
Отметим, что на основе рассмотренного линейного преобразования обеспечиваются только заданные математические ожидания и корреляционные связи координат. Этого достаточно для точного воспроизведения нормального закона распределения, если для координат вектора U используется генератор стандартизованного нормального закона. Однако область применения метода линейного преобразования не ограничивается только нормальным законом распределения, что определяется следующими обстоятельствами:
1. Определение многомерного закона распределения случайного вектора является достаточно сложной вычислительной задачей, особенно при использовании экспериментальных данных. Поэтому часто ограничиваются определением только вектора математических ожиданий и матрицы моментов. Очевидно, для последующего моделирования случайного вектора в таких случаях рассмотренный метод вполне достаточен.
2. В рамках рассмотренного метода на законы распределения координат исходного вектора U не накладываются никакие ограничения, кроме значений математических ожиданий и дисперсий. Поэтому метод в принципе может применяться для воспроизведения отличных от нормального многомерных законов распределения с точностью до заданных вектора математических ожиданий и матрицы моментов.
Для точного воспроизведения многомерной ПРВ произвольного вида может быть использован универсальный метод нелинейного преобразования случайных координат, с которым можно познакомиться, например, по [2].
3.9.3. Метод Неймана
Метод Неймана (с. 76), обобщенный на многомерный случай, также универсален, но в отличие от предыдущих, практически не требует подготовительной работы:
1. С помощью стандартного генератора получают n +1случайное число с равномерным законом распределения в интервале [0;1]: x k +1,x k +2,…,x k + n +1; k= (n +1) j.
2. Выполняют преобразования:
, i= 1,2,..., n; 
,
где 
- границы диапазонов возможных значений координат случайного вектора; 
- максимальное значение ПРВ моделируемого вектора fx (x 1, x 2,… xn).
3. Если условие 
выполняется, значения 
, i= 1,2,..., n,дают реализацию случайного вектора . В противном случае полученные числа отбрасывают, и пункты 1,2 повторяют.
Несмотря на известные недостатки, данный метод может оказаться предпочтительным даже с точки зрения быстродействия, особенно при большой размерности моделируемого случайного вектора.
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 235 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Пример статистической имитационной модели системы со случайными параметрами | | | Основные формы описания непрерывных случайных процессов |