Пример использования метода Монте-Карло

Одна из областей эффективного использования метода статистического моделирования – решение трудоемких вычислительных задач. Классическим примером является вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло. Эта задача заслуживает особого внимания, так как приемы и результаты ее решения широко используются как в теории статистического моделирования, так и при его практическом применении.

Если аналитического выражения для интеграла не существует, обычно используют приближенные итерационные методы, трудоемкость которых, особенно при многократном интегрировании, может оказаться весьма высокой. Применение здесь метода Монте-Карло может дать существенный выигрыш в трудоемкости.

Рассмотрим сначала простейший случай вычисления однократного интеграла с конечными пределами интегрирования:

, 0 ≤ g (x) ≤ g_max.

Значение J совпадает с величиной S заштрихованной площади под кривой g (x) на рис. 21. С другой стороны, в соответствии со свойствами равномерного закона распределения, площадь S пропорциональна вероятности p_S попадания в заштрихованную область случайной точки, координаты которой распределены по равномерному закону в пределах прямоугольника W:

S=p_S S _W= p_S g_max (b-a).

Вероятность p_S может быть найдена на основе n опытов следующим образом.

В отдельных опытах с использованием стандартного генератора случайных чиселx _i, равномерно распределенных в интервале [0;1], “разыгрываются” координаты случайной точки А:

x_j=a+ (b-a)x _i, y_j=g_max x _{i +1}.

Попадание точки А в область S будет иметь место при выполнении условия:

y_j<g (x_j).

После проведения n опытов оценка значения интеграла вычисляется просто:

,

где n_S количество попаданий точки А в область S.

Требуемое количество опытов и точность оцениваются рассмотренными выше способами.

Если один или оба предела интегрирования бесконечны, интеграл может быть найден на основе схемы оценки математического ожидания. Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание функции непрерывного случайного аргументапри заданной ПРВ f (x)аналитически определяется в виде интеграла:

. (3.21)

С другой стороны, значение математического ожидания может быть оценено на основе n опытов по (3.2).

Применение метода Монте-Карло обеспечивается за счет приведения искомого интеграла J к виду (3.21):

, . (3.22)

Таким образом, если получить по (3.2) оценку математического ожидания функции y (x), введенной в соответствии с (3.22), она окажется одновременно оценкой значения интеграла J.

Проводятся n опытов, в каждом из которых по закону f (x) разыгрываются значения x_i и вычисляются значения y_i=y (x_i), составляющие случайную выборку.

Оценка значения искомого интеграла определяется как среднее арифметическое:

(3.23)

Рассмотрим более общий случай:

,

причем пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными.

Преобразуем интеграл J к форме математического ожидания функции m случайных аргументов:

,

.

Теперь оценка значения интеграла J может быть получена на основе серии n опытов. В каждом опыте в соответствии с законами распределения аргументов f ₁(x ₁), f ₂(x ₂),…, f_m (x_m) генерируются значения и находится значение . Результат вычисляется по (3.23).

Законы распределения для x ₁, x ₂,…, x_m на практике выбираются в зависимости от вида пределов интегрирования и с учетом доступности необходимых генераторов случайных чисел. Чаще всего используют:

- нормальный закон для бесконечных a и b,

- экспоненциальный закон, если только один предел конечен,

- равномерный закон для конечных a и b.

Пример:

,

,

.

при a ₁ ≤ x ₁ ≤ b ₁ и x ₂ ≥ a ₂. При других значениях x ₁ и x ₂ y (x ₁, x ₂, x ₃)=0.

Преимущество метода Монте-Карло перед стандартными численными методами приближенного вычисления интегралов обусловлено тем, что необходимое количество опытов здесь определяется только разбросом результатов и не зависит напрямую от количества случайных факторов в задаче. Поэтому для любой размерности интеграла J количество шагов вычисления оказывается примерно одинаковым. С увеличением размерности возрастает лишь трудоемкость отдельного шага (генерирование дополнительных случайных чисел, усложнение выражения для y). Приближенно для метода Монте-Карло зависимость трудоемкости вычислений от размерности интеграла можно считать линейной. При использовании же численных методов пошагового интегрирования количество шагов вычислений N возрастает в зависимости от размерности интеграла m по показательному закону: N=n^m, где n – количество шагов при вычислении одномерного интеграла.

Дата добавления: 2015-11-04