Теоретические основы метода статистического моделирования

Метод статистического моделирования в целом базируется на положениях и результатах теории вероятностей и математической статистики [10, 15, 20, 35]. Рассмотрим ряд основных понятий и теорем, называемых предельными и объединяемых обычно общим названием - закон больших чисел, на которых основаны центральные идеи метода статистического моделирования.

В рамках закона больших чисел используется понятие предела по вероятности, отличающееся от обычного понятия предела, рассматриваемого в дифференциальном исчислении, и определяемое следующим образом.

Последовательность случайных величин { y_n } = y ₁, y ₂,…, y_n,… сходится по вероятности к случайной величине y, если вероятность того, что y_n отличается от y на любое конечное число, стремится к нулю при неограниченном увеличении n:

при n→∞, если для любого e>0.

Решение любой задачи статистического моделирования сводится к усреднению результатов некоторой последовательности, или совокупности, опытов. Итоговые результаты определяются в виде вероятностей, моментов или законов распределения. Обычно принято рассматривать в качестве основных две задачи: определение вероятности случайного события в рамках схемы Бернулли и определение математического ожидания случайной величины.

Схема Бернулли состоит в проведении независимых опытов в однородных условиях, в результате каждого из которых может быть зафиксировано или не зафиксировано наступление некоторого события A. Событие A является случайным, то есть существует, но неизвестна его вероятность P (А)= p _А.

Если проведены n опытов по схеме Бернулли, и в n _А из них событие A зафиксировано, то отношение

(3.1)

называется относительной частотой появления события A.

Теорема Бернулли: последовательность относительных частот появления события A в n независимых опытах сходится по вероятности к истинной p _А при n→∞.

При определении математического ожидания также должны обеспечиваться независимость опытов и однородность условий их проведения. При соблюдении таких условий результаты отдельных опытов рассматриваются как последовательность { x_n }= x ₁, x ₂,…, x_n,… независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения вероятностей. Если проведены n таких опытов, вводится новая случайная величина

(3.2)

Теорема Хинчина: если x ₁, x ₂,… – последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения с конечным математическим ожиданием m_x, то последовательность средних арифметических (n = 1,2,...) сходится по вероятности к m_x.

Существуют также другие формулировки указанных положений закона больших чисел. Например, усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова: для того чтобы среднее арифметическое независимых реализаций случайной величины сходилось с вероятностью, равной единице, к ее математическому ожиданию, необходимо и достаточно, чтобы это математическое ожидание существовало.

Отметим, что указанное свойство относится как к непрерывным, так и к дискретным случайным величинам, составляющим последовательность { x_n }. Причем для дискретной случайной величины математическое ожидание и среднее арифметическое могут рассматриваться как непрерывные величины. В этом смысле результаты отдельных опытов по схеме Бернулли могут трактоваться как независимые реализации дискретной случайной величины x с двумя возможными значениями 0 и 1. Среднее арифметическое n таких реализаций совпадет с относительной частотой (3.1). Подобным образом любая другая задача статистического моделирования может быть сведена к задаче определения математического ожидания.

Независимо от вида приведенные положения закона больших чисел выражают основную идею метода статистического моделирования: наблюдение большого числа реализаций случайной величины позволяет сделать правильные выводы о ее средних характеристиках. Однако для решения практических задач принципиального обоснования возможности получения результата за счет неограниченного увеличения количества опытов недостаточно. Необходимо иметь возможность определения требуемого количества опытов и оценки погрешности получаемого результата. Рассмотрим еще ряд положений и предельных теорем теории вероятностей.

Важную роль в расчетных соотношениях метода статистического моделирования играет одномерный нормальный закон распределения. Нормальным называется закон распределения суммы большого числа независимых случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с суммой. Для непрерывной случайной величины x, распределенной по нормальному закону, плотность распределения вероятностей (ПРВ) описывается аналитическим выражением:

, (3.3)

где m_x – первый начальный момент распределения, или математическое ожидание; s _x – среднеквадратическое отклонение, ; D_x – второй центральный момент распределения, или дисперсия. Нормальный закон распределения (3.3) полностью задается парой чисел m_x и s _x или m_x и D_x.

Стандартизованным нормальным распределением называется нормальное распределение некоторой случайной величины u с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией:

(3.4)

Связь любой случайной величины x с нормальным законом распределения и стандартизованной нормальной случайной величины u выражается следующими соотношениями:

, x=m_x + u s _x. (3.5)

Случайная величина y имеет асимптотически нормальный закон распределения, если существует последовательность пар действительных чисел (m_n, s _n), таких, что последовательность случайных величин, получаемых для отдельных реализаций y_n по соотношению

при n→∞, сходится по вероятности к стандартизованной нормальной случайной величине.

Одна из предельных теорем теории вероятностей гласит, что последовательность относительных частот в схеме Бернулли h_n имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией

. (3.6)

В соответствии с центральной предельной теоремой последовательность случайных величин, определяемых по (3.2), имеет асимптотичеcки нормальное распределение с математическим ожиданием, равным математическому ожиданию исходной последовательности независимых случайных величин, и дисперсией:

, (3.7)

если только математическое ожидание и дисперсия существуют.

Эти две теоремы являются основой для оценки погрешностей статистического моделирования. При этом следует иметь в виду, что понятия предела по вероятности, асимптотически нормального распределения и все предельные теоремы в строгом смысле справедливы только для бесконечного числа опытов n. При любом реализованном на практике конечном n любое из приведенных выше соотношений может не подтвердиться с вероятностью, отличной от нуля.

Дата добавления: 2015-11-04