Классификация моделей по форме математического описания

Для моделей систем управления рассматриваются несколько признаков классификации форм математического описания. Их сочетание определяет вид конкретных моделей и их разнообразие.

Различают модели статические и динамические.

Статические модели не учитывают развития процессов во времени и используются в основном для описания отдельных элементов системы. Общий вид статической модели: Y (t) =f (X (t)) или Y=f (X), где X= (x ₁, x ₂,…, x_n) – вектор входных переменных (сигналов); Y= (y ₁, y ₂,…, y_n) – вектор выходных переменных (сигналов). Значения составляющих векторов Y и X соответствуют одному и тому же фиксированному моменту времени t. Например, усилитель может быть представлен в математической модели системы нелинейной статической характеристикой (рис. 9, а), позволяющей для любого значения входного сигнала x получить соответствующее значение выходного сигнала y. Такая форма описания предполагает, что входные и выходные переменные могут меняться во времени, но для любого момента времени t значение "выхода" Y (t) зависит только от значения “входа" X (t) в тот же момент времени. Другими словами, статические модели не учитывают предысторию описываемого процесса.

Динамические модели учитывают развитие процессов во времени, то есть их предысторию. Их общий вид: Y (t) =f ({ Y (τ),τ <t },{ X (τ),τ ≤ t }). Таким образом, значение "выхода" Y здесь может зависеть и от своих значений в предшествующие моменты времени, и от значений "входа" в рассматриваемый и предшествующие моменты времени. Так если рассматривается преобразование усилителем быстро изменяющихся сигналов, приходится учитывать инерционность усилителя, и его модель задается в одной из форм, представленных на рис. 9, б, в.

Динамические модели применяются для описания как отдельных элементов, так и систем в целом. Ниже им уделяется основное внимание.

Дискретизация моделей систем может осуществляться путем перехода к дискретному времени или введения дискретного множества состояний. В связи с этим различаются следующие варианты.

В непрерывных моделях, или D - схемах, множество состояний системы и время являются непрерывными. Состояние модели описывается вектором фазовых переменных, или переменных состояния, X (t) = (x ₁(t), x ₂(t),…, x_n (t)). Модель задается в форме системы дифференциальных уравнений, чаще всего системы уравнений 1-го порядка:

, i= 1,2,…, n,

y_j (t)=ψ _j (X (t)), j= 1,2,…, m,(2.1)

где U (t) = (u ₁(t), u ₂(t),…, u_r (t)) – вектор входных переменных; y_j – выходные переменные системы. Помимо дифференциальных уравнений, для построения и анализа непрерывных моделей систем управления используются передаточные функции, частотные характеристики и др. Математический аппарат исследования непрерывных моделей достаточно хорошо освещен в технической литературе [3, 11, 32, 39].

Если рассматриваются непрерывное множество состояний и дискретное время, строятся модели дискретных, или импульсных, систем. При этом предполагается возможность изменения значений всех или некоторых переменных состояния в моменты времени, разделенные некоторым тактом или шагом T ₀. Непрерывные функции времени x (t) здесь заменяются решетчатыми функциями x (n), n= 0,1,…, причем . Для таких моделей используется аппарат разностных уравнений, импульсных передаточных функций и псевдочастотных характеристик, также детально разработанный в рамках теории управления [3, 4, 11, 32].

Модели с дискретными состояниями и дискретным временем строятся на основе теории конечных автоматов и марковских цепей [1, 37, 42]. При построении модели в форме конечногоавтомата вводятся дискретные конечные множества: состояний Z, входных сигналов X и выходных сигналов Y. Если рассматривается детерминированный конечный автомат (F -схема), задаются функция переходов j(z, x), формализующая правила смены состояний автомата, и функция выходов, y(z, x), формализующая правила формирования выходного сигнала на очередном такте работы автомата.

Модели с дискретными состояниями и непрерывным временем строятся на основе теории марковских процессов или Q -схем [1, 9, 37, 40]. Задается дискретное конечное множество состояний системы X= (x ₁, x ₂,…, x_n). Рассматриваются только случайные процессы смены состояний. Для качественного описания процесса используется граф смены состояний, для количественного описания – переходные вероятности или интенсивности смены состояний (рис. 10).

Для сложных динамических систем применяются более сложные способы дискретизации. Один из вариантов – построение модели динамической системы со случайной структурой [19].

Модель строится в непрерывном времени. Вводится дискретное конечное множество состояний системы Y= (y ₀, y ₁,…, y_L), которые называют также фазами движения или режимами работы. Каждому состоянию соответствует определенный вектор непрерывных фазовых переменных

X ^(l)(t) = (x ₁^(l)(t), x ₂^(l)(t),…, x_n ^(l)(t)), l= 1,2,..., L,

и система дифференциальных уравнений вида (2.1):

,

y_j (t) = ψ _j ^(l)(X ^(l)(t)), i= 1,2,..., n; j= 1,2,..., m; l= 1,2,..., L. (2.2)

Частным случаем модели со случайной структурой является модель динамической разрывной системы (схема ДРС), в которой векторы X ^{( l )} имеют одинаковую размерность для всех фаз движения [13]. Схема ДРС может рассматриваться как двухуровневая комбинированная схема построения модели, где на нижнем уровне используется D -схема, на верхнем ­­–­ одна из дискретных схем.

По характеру моделируемых процессов различают детерминированные и стохастические модели. Если для характеристик внешних воздействий и всех элементов моделируемой системы могут рассматриваться фиксированные значения, а процессы в системе подчиняются известным жестким закономерностям, строят детерминированные модели. В случаях, когда требуется учет случайных внешних воздействий, значений параметров системы или начальных условий, строят стохастические модели.

Так, если правила смены состояний конечного автомата являются жесткими, используется детерминированная F -схема. Стохастический конечный автомат называется вероятностным автоматом (P -схемой). У вероятностного автомата правила смены состояний не являются жесткими. Для каждого возможного сочетания состояния автомата и входного сигнала задается распределение вероятностей переходов в другие состояния [29].

В свою очередь, на основе D -схемы могут быть построены как детерминированные, так и разнообразные стохастические модели.

Существенное значение для выбора математического аппарата модели имеет нестационарность как самой системы, так и исследуемого процесса. Нестационарные модели, как правило, не допускают получения результата путем аналитических преобразований и требуют пошагового решения систем уравнений приближенными методами.

Для детерминированной задачи стационарная модель может быть построена для любой стационарной системы, то есть системы, параметры которой не изменяются на моделируемом интервале времени.

Для стохастической задачи, где учитываются случайные внешние воздействия, стационарная модель и соответствующий математический аппарат могут использоваться даже для стационарной системы только при расчете установившегося процесса и при условии, что внешние воздействия стационарны.

Линейность или нелинейность модели определяется необходимостью учета нелинейности отдельных элементов моделируемой системы. Приведенные выше для D -схемы уравнения (2.1) задают нелинейную модель. Линейная D -схема будет иметь вид

, Y (t) =C (t) X (t),

где A, B и C – матрицы коэффициентов.

Рассмотрим подробнее некоторые математические схемы, применяемые при построении моделей сложных стохастических систем, но не изучаемые обычно в рамках курса "Теория автоматического управления".

Дата добавления: 2015-11-04