Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Понятие оценки. Свойства оценок

Реальных условий их применения | Основные свойства и характеристики моделей | Особенности моделирования и испытаний сложных систем | Показатели эффективности систем | Классификация моделей по способу физической реализации | Классификация моделей по форме математического описания | Построении моделей сложных систем | Вероятностные автоматы и марковские цепи | Модели с дискретными состояниями и непрерывным временем | Алгоритмы реализации моделей |


Читайте также:
  1. C. Л. Франк Понятие философии. Взаимоотношения философии и науки
  2. Ассортимент товаров. Понятие. Классификация ассортимента.
  3. Ассортимент товаров. Понятие. Классификация ассортимента.
  4. БИОЛОГИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ СВОБОДЫ В ПЕДАГОГИКЕ
  5. Биохимические свойства иммуноглобулинов
  6. Боевые и технические характеристики, боевые свойства БМП-2
  7. В Европе есть такое понятие — «интеллектуал». В Италии — Умберто Эко, в Германии — Гюнтер Грасс. Они — кровные братья наших интеллигентов?

Совокупность значений случайной величины x 1, x 2,…, xn полученных при n независимых опытах в однородных условиях, называется случайной выборкой. Закон распределения такой ограниченной по объему совокупности значений исследуемой случайной величины x называется выборочным законом распределения.

Выборка бесконечного объема, распределение которой совпадает с истинным законом распределения исследуемой случайной величины x, называется генеральной совокупностью.

Таким образом, если будут выполнены различные серии опытов с регистрацией случайных значений, или реализаций, величины x, будут получены несколько случайных выборок, выступающих как часть одной и той же генеральной совокупности. Каждой из этих выборок будет соответствовать свой выборочный закон распределения, являющийся некоторым приближением истинного закона.

Можно выделить два основных вида задач обработки случайных выборок:

- получение выборочного закона распределения;

- определение некоторых оценок, то есть приближений моментов или параметров истинного закона распределения.

Статистикой называется некоторая функция, определенная на выборке, yn=y (x 1, x 2,…, xn), значение которой может быть предсказано с существенно более высокой точностью, чем значение случайной величины, образующей выборку [20].

Поясним суть такого свойства, называемого статистической устойчивостью, на примере.

Пусть получена выборка значений случайной величины x объемом n= 10: 1,2; 1,8; 2,2; 2,5; 2,1; 1,9; 1,8; 1,5; 1,3; 2,4.

Найдем: среднее арифметическое и вероятность того, что наблюдаемое значение x оказывается большим2, p А= P (x> 2)=0,4.

Если на основе имеющейся выборки попытаться предсказать значения, которые примут случайные величины x, и p А после проведения дополнительного 11-го опыта, то можно сделать следующие предположения: 1,2≤ x ≤2,5; 1,81≤ ≤1,93; 0,36≤ p А≤0,45.

Очевидно, при больших n прогнозируемые диапазоны для и p А окажутся значительно более узкими, в отличие от x. Таким образом, они действительно обладают статистической устойчивостью и могут использоваться как статистики.

Выбор той или иной статистики в качестве оценки искомой величины в конкретной задаче не всегда однозначен. Помимо статистической устойчивости, к оценке предъявляются следующие требования:

1. Состоятельность – оценка должна сходиться по вероятности к оцениваемой величине. Для этого достаточно, чтобы предел дисперсии оценки был равен нулю при n→∞.

2. Эффективность – оценка должна иметь минимальную дисперсию среди всех статистик, которые можно построить для определения искомой величины.

3. Несмещенность – математическое ожидание оценки должно совпадать с истинным математическим ожиданием оцениваемой величины.

4. Достаточность – оценка должна использовать всю информацию, содержащуюся в выборке.

Последними двумя требованиями иногда пренебрегают в пользу статистической устойчивости и эффективности или для простоты вычислений.

Примеры оценок:

1. Оценка вероятности случайного события – относительная частота (3.1) – отвечает всем указанным требованиям: p A * = hn.

2. Оценка математического ожидания – выборочное среднее (3.2) – является состоятельной, несмещенной, достаточной и при условии конечности дисперсии оцениваемой величины эффективной: .

3. Для нахождения дисперсии случайной величины x может быть построена статистика, непосредственно соответствующая определению дисперсии и называемая выборочным стандартным отклонением:

, (3.8)

где xi - значения реализаций x, образующих выборку; - выборочное среднее. Однако такая статистика, удовлетворяя остальным требованиям, для конечной выборки оказывается смещенной.

Несмещенная оценка дисперсии выглядит следующим образом:

(3.9)

Нетрудно убедиться, что при n> 50 смещение статистики (3.8) оказывается незначительным и ее также можно использовать для оценки дисперсии.

4. Оценка корреляционного момента связи двух случайных величин x и y, удовлетворяющая всем указанным выше требованиям:

. (3.10)

5. Оценки математического ожидания m h и корреляционной функции K h(t) стационарного эргодического случайного процесса h(t) могут быть получены по случайной выборке, образованной n последовательными измерениями одной реализации процесса h1,h2,...,h i,...,h n с шагом D t:

, (3.11)

, (3.12)

где h i =h(i D t), t= j D t.

Оценка (3.11) удовлетворяет всем указанным выше требованиям, а оценка (3.12), не будучи несмещенной, традиционно используется при достаточно больших n в силу простоты алгоритмической реализации.


Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 46 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Теоретические основы метода статистического моделирования| Точность оценок и определение необходимого количества опытов

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)