Точность оценок и определение необходимого количества опытов

Рассмотрим задачу определения вероятности P (А)= p _А случайного события А на основе схемы Бернулли. В соответствии с законом больших чисел и предельными теоремами можно принять (с достоверностью, близкой к 1), что при достаточно больших n оценка этой вероятности p ^*_А является непрерывной случайной величиной, распределенной по нормальному закону со следующими математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением:

,

(3.13)

С учетом (3.13) найдем вероятность того, что при определенном n оценка будет отличаться от истинной вероятности не более, чем на d:

P (| p ^*_А – p _A| < ∆) = P (p _A – ∆ < p ^*_А < p _A + ∆) = F (p _A+ ∆) – F (p _A – ∆), (3.14)

где F (x) - функция распределения вероятностей (ФРВ) случайной величины p ^*_А. Графически вероятность (3.14) соответствует заштрихованной площади под кривой ПРВ случайной величины p ^*_А (рис. 18).

Соотношение (3.14) обычно представляют в следующей форме:

, (3.15)

где

- стандартизованная нормальная случайная величина; определяется по (3.13); P _д - доверительная вероятность;

Доверительная вероятность может быть определена через ФРВ F _u стандартизованного нормального закона:

,

где - интеграл вероятностей.

В соответствии с (3.15) модуль абсолютной погрешности e= p _А -p ^*_Аоценки вероятности не превосходит с вероятностью P _д.

Таким образом, при достаточно большом n можно с доверительной вероятностью P _д оценить погрешность p ^*_А:

(3.16)

или определить количество опытов, необходимое для обеспечения погрешности, не превышающей допустимую e_доп.:

. (3.17)

С учетом сказанного очевидно, что после проведения n _треб. опытов нельзя утверждать, что искомая вероятность равна p ^*_А. Корректная трактовка результата будет выглядеть следующим образом: с доверительной вероятностью P _д вероятность события А находится в пределах интервала от до . Такой интервал называется доверительным. Некоторые значения P _д и a_д(P _д) представлены в табл. 7.

Дата добавления: 2015-11-04