Методы моделирования случайных процессов с заданными характеристиками

Применение рассмотренных выше методов математического моделирования случайных процессов в системах управления связано с рядом ограничений. Построение аналитических моделей возможно только в простейших случаях, а наиболее универсальный из рассмотренных метод динамики средних требует численного интегрирования. Порядок модели, построенной по методу динамики средних, в несколько раз превышает порядок моделируемой системы, а входные воздействия могут учитываться только в форме белых шумов. Поэтому для достаточно сложных задач неизбежно использование статистического имитационного моделирования, несмотря на высокую его трудоемкость. Кроме того, статистическое имитационное моделирование применяется для проверки точности и достоверности результатов, полученных другими методами, требующими более жестких допущений о характеристиках моделируемых процессов.

При статистическом имитационном моделировании на основе математических, полунатурных и других моделей возникает задача имитации внешних воздействий на систему, имеющих форму случайных процессов с определенными характеристиками. Эта задача решается путем построения генераторов случайных процессов.

Рассмотрим задачу имитации одномерного случайного процесса X (t). Получаемые реализации должны подчиняться закону распределения с заданной ПРВ f (x) и иметь заданную корреляционную функцию K_x (t). Генератор случайного процесса с заданными характеристиками обычно строится на основе генератора белого шума.

При математическом моделировании используются стандартные генераторы псевдослучайных чисел с равномерным или нормальным законом распределения. Такие генераторы обычно обеспечивают получение последовательностей чисел с достаточно низкой взаимной зависимостью. Если рассматривать такую последовательность x₁,x₂,…,x _i,…,x _n как последовательность значений процесса x(t), зарегистрированных в моменты времени t ₁< t ₂<¼< t_i <¼< t_n с постоянным шагом D t: x(t ₁)=x₁, x(t ₂)=x₂, ¼ x(t_i)=x _i,¼ x(t_n)=x _n, t_{i+ 1}= t_i +D t, будет получена модель дискретного белого шума. При D t ®0 перейдем к модели непрерывного белого шума. При использовании ЦВМ шаг D t всегда конечен. Поэтому его величину приходится учитывать при расчете параметров цифровых моделей непрерывных случайных процессов.

Для получения случайного процесса с названными выше характеристиками из белого шума с равномерным или нормальным законом распределения необходимо обеспечить: заданный закон распределения - эта задача решается рассмотренными выше методами безынерционных нелинейных преобразований; заданные корреляционные свойства - эта задача решается методами формирующего фильтра, скользящего суммирования и др.

4.9.1. Метод формирующего фильтра

Метод формирующего фильтра основан на использовании закономерностей преобразования линейным динамическим звеном спектральной плотности случайного сигнала, описываемых соотношением (4.15). Если на вход динамического звена поступает белый шум со спектральной плотностью S _x(w)= S ₀, спектральная плотность выходного сигнала X (t)будет определяться через частотную передаточную функцию звена W (j w) следующим образом:

S_x (w)=| W (j w)|² S ₀.

Формирующим фильтром называется динамическое звено, обеспечивающее требуемые корреляционные свойства выходного сигнала.

Модель случайного процесса с заданной корреляционной функцией K_x (t) можно построить на основе формирующего фильтра, используя в качестве его входного сигнала белый шум. Необходимая передаточная функция формирующего фильтра определяется из соотношения

, (4.46)

где

.

Пример. Задана корреляционная функция моделируемого процесса

K_x (t)= D_xe ^{-a|t |}.

Определим его спектральную плотность:

Пусть имеется генератор белого шума x(t) с постоянной интенсивностью, или дисперсией, G ₀. Определим его спектральную плотность:

K _x(t)= G ₀d(t), .

Теперь найдем передаточную функцию формирующего фильтра:

откуда или , где , .

Такой формирующий фильтр может быть физически реализован, например, в виде четырехполюсника (рис. 44, а) или на операционном усилителе (рис. 44, б). Для четырехполюсника k _ф=1, T _ф =RC; для операционного усилителя k _ф= R ₂/ R ₁, T _ф =R ₂ C. В математической модели, построенной на основе D -схемы, такой формирующий фильтр может быть представлен дифференциальным уравнением:

.

При реализации на ЦВМ математической модели непрерывной системы в форме (4.27) или (4.35) и использовании методов пошагового интегрирования дифференциальных уравнений фактически применяется аппроксимация непрерывного случайного процесса дискретным. Такой дискретный процесс имеет период дискретизации, равный шагу интегрирования h, и сохраняет свое значение в течение периода. Определим корреляционную функцию и спектральную плотность дискретного случайного процесса, аппроксимирующего непрерывный белый шум с интенсивностью G ₀:

K _x^*(t)= G ₀1(t)- G ₀1(t -h),

.

Поэтому, если в качестве источника белого шума используется генератор случайных чисел с некоторым законом распределения, характеризуемым дисперсией D _x, в соотношении (4.46) в качестве спектральной плотности входного сигнала для формирующего фильтра следует брать значение S ₀= D _x h. Например, при использовании стандартного генератора псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0; 1] следует брать S ₀= h/ 12.

Отметим, что область использования формирующих фильтров не ограничивается статистическим имитационным моделированием. Так полученные выше основные соотношения метода динамики средних могут использоваться только в предположении, что входные сигналы системы являются белыми шумами. Если необходимо учесть входной сигнал в виде случайного процесса с заданной корреляционной функцией, следует добавить в исходную систему уравнений (4.27) или (4.35) соответствующее уравнение формирующего фильтра.

4.9.2. Метод скользящего суммирования

Метод формирующего фильтра удается использовать, только если заданная корреляционная функция моделируемого случайного процесса позволяет получить передаточную функцию фильтра рассмотренным выше способом. Во многих случаях заданный вид корреляционной функции не позволяет это сделать. Тогда приходится видоизменять заданную корреляционную функцию или использовать иные методы.

Метод скользящего суммирования свободен от указанного ограничения. Он применяется при цифровом моделировании дискретных или случайных непрерывных процессов и может рассматриваться как модификация метода формирующего фильтра.

Рассмотрим сначала более простой случай, когда вид заданной корреляционной функции позволяет подобрать передаточную функцию формирующего фильтра. Тогда на основе обратного преобразования Лапласа определяется весовая функция фильтра w (t)= L ^-1[ W (p)]. Метод основан на использовании интеграла свертки

,

где X (t) - реализация выходного сигнала - случайного сигнала с заданной корреляционной функцией; x(t) - реализация случайного входного сигнала (белого шума).

При цифровом моделировании интеграл свертки реализуется в виде суммы, что эквивалентно приближенному интегрированию по методу прямоугольников:

, (4.47)

t=nh, w_k= w(kh), x _n-k =x[(n-k) h ].

Для моделирования случайного дискретного процесса непосредственно используется дискретная форма интеграла свертки:

. (4.48)

Иногда удобнее использовать соотношения, эквивалентные (4.47)-(4.48):

, w_n-k = w [(n-k) h ],x _k= x(kh), (4.49)

. (4.50)

Поясним вычислительную процедуру метода скользящего суммирования с помощью временной диаграммы (рис.45). Для вычисления значения процесса на n -м шаге x (n) суммируются произведения совпадающих по вертикали значений x и w.

Для вычисления следующего значения x (n+ 1) верхний график сдвигается вправо на один шаг и так далее. При практической реализации метода количество слагаемых "скользящей" суммы принимается постоянным. Для точного воспроизведения заданной корреляционной функции оно должно соответствовать интервалу затухания t _п весовой функции до (3¸5)% от ее максимального значения, например, в (4.47)

, .

В зависимости от соотношения t _п и h может потребоваться до 100 и более слагаемых. Поэтому вычислительная трудоемкость метода скользящего суммирования, как правило, оказывается значительно выше трудоемкости метода формирующего фильтра.

Этот недостаток вполне компенсируется возможностью воспроизведения произвольной формы корреляционных функций. Для рассмотренного выше примера воспроизведения корреляционной функции вида

K_x (t)= D_xe ^{-a|t |}

весовая функция формирующего фильтра имеет вид

.

Можно показать, что и в общем случае для корреляционной функции произвольной формы, удовлетворяющей условию | K (t)|<<¥, может быть формально получена функция w (t), позволяющая получать на основе интеграла свертки реализации процесса X (t) с такой корреляционной функцией, даже если соответствующий формирующий фильтр в форме динамического звена физически не реализуем. Если при этом в качестве x(t) используется белый шум, то получаемая w (t) будет совпадать с K (t) с точностью до масштабного коэффициента. Поэтому для формирования с помощью метода скользящего суммирования случайного процесса с заданной корреляционной функцией K_x (t) произвольного вида можно порекомендовать использовать K_x (t) непосредственно в качестве весовой функции в соотношениях (4.47)-(4.50) с последующим масштабированием получаемых значений случайного процесса с учетом соответствия обеспечиваемой корреляционной функции заданной. Здесь можно ограничиться сравнением получаемой выборочной дисперсии D_x ^* и значения K_x (0). Если оказывается, что , следует уменьшить центрированную составляющую получаемого процесса в раз (пропорционально отношению среднеквадратических отклонений).

4.9.3. Особенности практической реализации генераторов случайных процессов

Как следует из вышеизложенного, процедура формирования случайного процесса с заданными характеристиками должна предусматривать два последовательных этапа преобразования исходного процесса в форме белого шума: формирование заданного закона распределения и обеспечение заданных корреляционных свойств. Проанализируем взаимное влияние этих преобразований.

Преобразование закона распределения одним из рассмотренных выше методов можно рассматривать как преобразование сигнала нелинейным безынерционным звеном. Например, для метода обратных функций статическая характеристика такого звена будет иметь вид j(u)= F ^-1(u). В зависимости от вида j(u) безынерционная нелинейность может изменить корреляционную функцию преобразуемого сигнала.

В свою очередь, формирующий фильтр, представляющий собой линейное динамическое звено, видоизменяет не только спектральную плотность и корреляционную функцию, но и закон распределения формируемого сигнала. При достаточно высоком порядке знаменателя передаточной функции формирующий фильтр нормализует закон распределения преобразуемого сигнала. Для компенсации такого побочного эффекта обычно рекомендуется на первом этапе обеспечить заданные корреляционные свойства моделируемого процесса с помощью формирующего фильтра или скользящего суммирования, после чего, вычислив математическое ожидание m_u и среднеквадратическое отклонение s _u полученного процесса, выполнить дополнительное нелинейное преобразование сигнала вида

. (4.51)

Считается, что после этого в соответствии с (3.25) будет восстановлен исходный равномерный в интервале [0; 1] закон распределения значений процесса. Затем можно проводить формирование заданного закона распределения.

Однако при практической реализации генератора случайного процесса указанные теоретические результаты, как правило, не подтверждаются. Это связано, во-первых, с невысоким качеством стандартных генераторов равномерно распределенных случайных чисел, используемых в распространенных программных средствах, применяемых при реализации моделей на ЦВМ. Во-вторых, все теоретические результаты, на которых основан метод статистического моделирования, при конечных объемах выборок, получаемых на практике, имеют заведомо ограниченную достоверность.

Вследствие этого закон распределения псевдослучайной последовательности , получаемой со стандартного генератора, в большей или меньшей степени отличается от равномерного, а корреляционная функция получаемого на его основе "белого шума" - отличается от d-функции. Кроме того, взаимное влияние рассмотренных этапов преобразования процесса оказывается более существенным и в общем случае непредсказуемым.

Таким образом, точное воспроизведение заданных характеристик случайного процесса является сложной задачей, требующей выполнения нескольких этапов преобразований, контроля получаемых результатов после каждого этапа на основе вычисления оценок (3.11)-(3.12), восстановления законов распределения и применения критериев согласия, а также немалой изобретательности. Большое число полезных практический рекомендаций содержится в монографии [47].

Дата добавления: 2015-11-04