Читайте также:
|
Данный аналитический метод, называемый также методом передаточных функций, детально развит в рамках теории автоматического управления [2, 3, 32] и основан на использовании структурно-динамических схем систем и спектральных плотностей случайных процессов. Непосредственное использование спектральных плотностей возможно только для стационарных процессов. Поэтому данный метод позволяет строить модели процессов, соответствующих некоторым установившимся режимам в стационарных системах при стационарных воздействиях.
Применение данного метода основано на использовании двух свойств линейных систем:
1. Реакция линейной системы на совокупность входных воздействий может быть определена как сумма ее реакций на каждое из них в отдельности (принцип суперпозиции).
2. Случайный сигнал на выходе физически реализуемого линейного динамического звена имеет закон распределения, близкий к нормальному (свойство фильтра).
Второе свойство, строго говоря, имеет место при следующем соотношении между порядком знаменателя n и числителя m передаточной функции звена или системы: n – m ≥ 2. Однако его обычно используют во всех случаях, когда выполняется условие физической реализуемости n–m ≥ 1.
Благодаря указанным свойствам оказывается возможным изолированно рассматривать преобразование линейной системой детерминированных и центрированных случайных составляющих входных сигналов и ограничиваться для выходного сигнала или ошибки системы нахождением только математического ожидания и дисперсии, полностью определяющих нормальный закон распределения. Для оценки корреляционных свойств выходных сигналов используются корреляционные функции и спектральные плотности.
Каждый случайный входной сигнал преобразуется в сумму:
,
где mg (t) - детерминированная составляющая, или математическое ожидание входного сигнала; 
- центрированная случайная составляющая входного сигнала (случайный процесс с нулевым математическим ожиданием).
Модель преобразования детерминированной составляющей строится на основе стандартного аппарата передаточных функций:
L [ my (t)] = Φ(p) L [ mg (t)],
где L [ mg (t)], L [ my (t)] - изображения по Лапласу детерминированных составляющих соответственно входного и выходного сигналов; Φ(p) - передаточная функция звена или системы.
Выходной сигнал в установившемся процессе может быть определен по теореме о конечном значении:
(4.14)
Например, при mg (t)= const для асимптотически устойчивой системы из (4.14) получим: my =Φ(0) mg = const.
Модель преобразования центрированной случайной составляющей строится для спектральных плотностей
Sy (ω)=|Φ(j ω)|2 Sg (ω), (4.15)
где спектральная плотность входного сигнала определяется по его корреляционной функции
По полученной спектральной плотности выходного сигнала находят его дисперсию:
(4.16)
Интеграл вида (4.16) обычно удается привести к форме:
,
где hn (j ω)= b 1(j ω)2 n -2 + b 2(j ω)2 n -4 +... +bn, gn (j ω)= a 0(j ω) n + a 1(j ω) n -1 +... +an.
Тогда:
,
где ∆n - n -й определитель Гурвица для многочлена gn (p) [3], а ∆'n получается из ∆n заменой 1-й строки коэффициентами многочлена hn. Например, при n =4
, 
.
Для системы с несколькими случайными входными сигналами ограничимся случаем, когда они не коррелированы между собой.
Тогда математическое ожидание и дисперсия выходного сигнала определяются на основе принципа суперпозиции:
,
, (4.17)
где 
и 
- математическое ожидание и спектральная плотность k -го входного сигнала (задающего или возмущающего воздействия); 
; 
- передаточная функция системы от k -го входа к выходу.
Таким образом, выходной сигнал определяется в форме 
, причем центрированная случайная составляющая описывается дисперсией Dy.
Аналогичный подход используется при нахождении ошибки системы. Она определяется в форме: 
. Пусть на систему действуют детерминированное задающее воздействие g (t) и несколько некоррелированных случайных возмущений 
, k= 1,2,…, K.
Тогда математическое ожидание ошибки определяется в виде суммы:
,
где 
, 
, Φ x (p) - передаточная функция системы по ошибке от задающего воздействия, 
- передаточная функция системы по k -му возмущающему воздействию, k= 1,2,..., K.
Дисперсия ошибки совпадает с дисперсией выходного сигнала, определяемой в соответствии с (4.17). Примеры использования рассмотренного метода широко представлены в литературе [32, 33].
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 72 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Основные формы описания непрерывных случайных процессов | | | Статистическая линеаризация нелинейной стационарной |