Статистического моделирования

Закон распределения реализаций случайной величины x ₁, x ₂,…, x_n, составляющих выборку некоторой длины n, называется выборочным, или статистическим. Получение выборочной ФРВ F^* (x) или ПРВ является одной из основных задач обработки результатов статистического моделирования. Возможны два варианта постановки такой задачи:

1. Вид закона распределения (чаще всего - аналитическое выражение для ПРВ) известен и требуется определить только его параметры. При такой постановке задачи применяются параметрические методы восстановления закона распределения.

2. Вид закона распределения неизвестен. В таком случае для его получения применяются непараметрические методы.

3.6.1. Параметрические методы восстановления закона распределения

Если известно или считается известным аналитическое выражение для ПРВ, она рассматривается как функция f (x, A), где A =(a ₁, a ₂,…, a_m) - вектор неизвестных параметров.

В соответствии с методом наибольшего правдоподобия вводится функция правдоподобия

,

где x_i - реализации случайной величины x, составляющие выборку.

В качестве оценок параметров a_j выбираются значения, доставляющие локальный максимум функции правдоподобия. Для этого в соответствии с необходимым условием достижения локального экстремума составляются m уравнений:

, j= 1,2,..., m.

Решение полученной системы m уравнений с m неизвестными дает вектор оценок искомых параметров A ^*=(a ₁^*, a ₂^*,…, a_m ^*).

Пример: f (x)= f (x,l)=l e ^{-l x}, , A =(l), m= 1,

,

,

,

.

В соответствии с методом моментов уравнения для оценок неизвестных параметров образуются приравниванием выборочных начальных моментов распределения

аналогичным моментам распределения генеральной совокупности

.

Количество составляемых уравнений соответствует количеству неизвестных параметров:

, l= 1,2,..., m.

Пример: f (x)= f (x,l)=l e ^{-l x}, , A =(l), m= 1,

,

,

, .

3.6.2. Непараметрические методы восстановления закона распределения

Классические непараметрические методы восстановления закона распределения по случайной выборке x ₁, x ₂,…, x_n позволяют получить аппроксимации ПРВ или ФРВ кусочно-постоянными функциями.

Для аппроксимации ПРВ обычно используются статистические ряды или гистограммы.

При построении статистического ряда выборка разбивается на разряды:

[ x_j, x_{j +1}], x ₁= x_min, x_{j +1}= x_j +D x, j= 1,2,..., m; x_{m +1}= x_max.

Количество разрядов m обычно выбирается в соответствии с условиями:

при , при n> 500.

Длина разряда постоянна: . Разность x_max-x_min называется размахом выборки. Все попавшие в j -й разряд значения x далее считаются одинаковыми и равными среднему значению для данного разряда v_j.

Статистический ряд составляется в форме табл. 8.

Таблица 8

Статистический ряд

Номер разряда	Границы разряда	Среднее значение	Число наблюдений в разряде	Частота разряда
	x 1¸ x 2	v 1	n 1	p 1^*
	x 2¸ x 3	v 2	n 1	p 2^*
…	…	…	…	…
j	xj ¸ xj +1	vj	nj	pj ^*
…	…	…	…	…
m	xm ¸ xm +1	vm	nm	pm ^*

Средние значения для разрядов определяются как средние арифметические границ: . Частоты разрядов - как отношения количества элементов выборки, попавших в данный разряд к общему объему выборки: .

По статистическому ряду могут быть найдены оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины x:

,

.

Гистограмма представляет собой графическую интерпретацию статистического ряда (рис. 28). На основе гистограммы могут быть получены аппроксимации ФРВ (рис. 29) или ПРВ (рис. 30). Ординаты F ^*(x) и f ^*(x) определяются по формулам:

,

.

Более точной аппроксимацией выборочной ФРВ является статистическая функция распределения F_x ^*(x), определяемая как частота наблюдения реализаций x_i, не превышающих x: , где n_x - количество значений .

Для ее построения вся выборка сортируется в порядке возрастания x: . Теперь отношения порядковых номеров j к объему выборки n дают значение F_x ^*(x) для интервалов [ x_j, x_{j +1}] (рис. 31):

.

Менее наглядна, но более удобна для алгоритмической реализации иная форма вычисления статистической функции распределения, не требующая предварительной сортировки выборки:

, u_i=x-x_i,

Получаемые на основе рассмотренных методов оценки ПРВ и ФРВ наглядны и просты в реализации, но не обладают свойством достаточности.

В последнее время разработаны более эффективные оценки ПРВ, являющиеся обобщениями "окошечной" оценки Розенблатта. Оценка Розенблатта имеет вид:

, ,

Величина 2 h называется шириной окна. В общем случае она выбирается в зависимости от объема выборки: h=h (n) > 0, причем .

Принцип построения "окошечной" оценки состоит в том, что с каждым выборочным значением x_i совмещается окно шириной 2 h (рис. 32). Значение оценки ПРВ для любой точки пропорционально количеству окон, накрывающих эту точку.

Более общими и обладающими свойством достаточности являются ядерные оценки ПРВ вида

, , .

Функция K_n (x, x_i) называется функцией ядра, h=h (n) > 0- коэффициентом вклада. В отличие от оценки Розенблатта, здесь K (u) отличается от нуля при любом u. Она имеет максимум при u= 0 (x=x_i), является четной относительно u и монотонно убывает при удалении u от нуля. Благодаря такому выбору функции ядра, для любой точки x обеспечивается определение оценки ПРВ с учетом степени удаленности от x каждого значения x_i, содержащегося в выборке.

Требования к K (u) и h (n):

, , , ,

.

Для конкретной задачи функция ядра и коэффициент вклада выбираются с учетом статистических характеристик обрабатываемой выборки [46].

Примеры функций ядра и коэффициентов вклада:

, , , ,

где s _x ^* - оценка среднеквадратического отклонения.

Дата добавления: 2015-11-04