Распределения

Восстановленный одним из рассмотренных способов выборочный закон распределения нестабилен. После проведения дополнительной серии опытов или повторения всего эксперимента в аналогичных условиях будет получена другая случайная выборка, и все оценки могут измениться. Кроме того, табличная или графическая форма закона распределения неудобны для дальнейшего использования.

Поэтому обычно подбирают некоторый теоретический закон распределения вероятностей (аналитическое выражение для ПРВ или ФРВ), достаточно близкий к выборочному, чтобы можно было рассматривать его как аппроксимацию истинного закона распределения исследуемой случайной величины. Затем проверяют соответствие теоретического закона истинному на основе критерия согласия теоретического и выборочного законов распределения (проверка статистической гипотезы).

В соответствии с основными теоретическими положениями метода статистического моделирования по выборке конечного объема невозможно оценить статистические характеристики случайной величины или процесса с полной достоверностью. Поэтому вывод о согласии или несогласии теоретического и выборочного законов можно сделать только с некоторой вероятностью. При этом следует учитывать две возможные причины обнаруженного несогласия:

- неверный подбор теоретического закона;

- недостаточный объем выборки.

Процедура проверки статистической гипотезы с помощью критерия согласия состоит в следующем:

- вычисляется значение некоторой меры расхождения подобранного теоретического и выборочного законов распределения;

- оценивается вероятность того, что при данном числе опытов n и при правильном подборе теоретического закона эта мера могла бы принять значение, большее или равное полученному.

Величина этой вероятности и является критерием согласия. Таким образом, критерий согласия - это вероятность того, что на основе выборки рассматриваемого объема могло бы быть получено худшее соответствие теоретического и выборочного законов.

Малая величина полученного критерия согласия свидетельствует о том, что скорее всего теоретический закон распределения подобран неверно (статистическая гипотеза отвергается). При достаточно большой величине критерия согласия нет оснований отвергать подобранный теоретический закон (статистическая гипотеза принимается).

3.7.1. Критерий согласия Пирсона

Критерий согласия Пирсона, или критерий c², наиболее удобен для проверки соответствия теоретического закона распределения выборочному, полученному в форме статистического ряда или гистограммы.

В качестве меры расхождения теоретического и выборочного законов распределения используется величина

,

где n - объем выборки; m - количество разрядов; n_j - число наблюдений в разряде; p_j ^*- частота разряда; p_j - вероятность попадания в j -й разряд случайной величины x, распределенной по подобранному теоретическому закону.

Вероятность является функцией c _q ²и числа степеней свободы распределения c²: r=m-s- 1, где s - количество параметров теоретического закона, оценивавшихся по выборке. Например, для нормального закона в общем случае s= 2, а если m_x или s _x было заранее известно, s= 1. Аналитические зависимости для закона распределения c² известны, но на практике удобнее пользоваться таблицами (при табл. 9).

Таблица 9

Распределение c²

r	P =0,2	P =0,1	P =0,05	P =0,01	r	P =0,2	P =0,1	P =0,05	P =0,01
	1,6	2,7	3,8	6,6		20,5	23,5	26,3	32,0
	3,2	4,6	6,0	9,2		21,6	24,8	27,6	33,4
	4,6	6,3	7,8	11,3		22,8	26,0	28,9	34,8
	6,0	7,8	9,5	13,3		23,9	27,2	30,1	36,2
	7,3	9,2	11,1	15,1		25,0	28,4	31,4	37,6
	8,6	10,6	12,6	16,8		26,2	29,6	32,7	38,9
	9,8	12,0	14,1	18,5		27,3	30,8	33,9	40,3
	11,0	13,4	15,5	20,1		28,4	32,0	35,2	41,6
	12,2	14,7	16,9	21,7		29,6	33,2	36,4	43,0
	13,4	16,0	18,3	23,2		30,7	34,4	37,4	44,3
	14,6	17,3	19,7	24,7		31,8	35,6	38,9	45,6
	15,8	18,5	21,0	26,2		32,9	36,7	40,1	47,0
	17,0	19,8	22,4	27,7		34,0	37,9	41,3	48,3
	18,2	21,1	23,7	29,1		35,1	39,1	42,6	49,6
	19,3	22,3	25,0	30,6		36,3	40,3	43,8	50,9

Вследствие случайности выборки при любом c _q ²существует риск необоснованно отвергнуть или принять то или иное теоретическое распределение. Жестких условий, безошибочно разграничивающих области согласия и несогласия теоретического распределения с выборочным, сформулировать невозможно. Поэтому правило принятия решения на основе критерия Пирсона имеет определенную степень гибкости, учитывающую риск получения ошибки:

1. Определяется значение c _q ²и в строке таблицы распределения c², соответствующей рассматриваемому r, находятся ближайшие к полученному c _q ²значения.

2. В верхней строке таблицы находится соответствующее значение P или определяется диапазон, которому принадлежит значение P.

В зависимости от значения P принимается одно из возможных решений:

- при считается, что согласия между теоретическим и выборочным распределениями нет; теоретический закон отвергается и должен быть заменен другим, подлежащим аналогичной проверке;

- при считается, что теоретическое распределение согласуется с выборочным, то есть подобрано верно;

- при 0,01 <P< 0,1 считается, что согласие между теоретическим и выборочным распределениями не обеспечивается скорее всего вследствие недостаточного объема выборки; рекомендуется увеличить объем выборки и повторить проверку в надежде на смещение значения P в другой интервал.

4. Если при 0,01 <P< 0,1 увеличение объема выборки невозможно или не дает ожидаемого эффекта, с несколько большим риском принимается, что границей областей согласия и несогласия теоретического и выборочного законов является P= 0,05.

3.7.2. Критерий согласия Колмогорова

Критерий согласия Колмогорова наиболее удобен в том случае когда по случайной выборке восстановлена статистическая функция распределения F ^*(x). В качестве меры расхождения здесь рассматривается максимум абсолютной величины разности теоретической и выборочной (статистической) ФРВ:

,

где F (x) - теоретическая ФРВ.

Критерием согласия является вероятность того, что случайная величина при данном объеме выборки n и правильном выборе теоретического закона могла бы принять значение, не меньшее :

. (3.30)

При вероятности (3.30) рассчитываются в соответствии с законом распределения Колмогорова. Наиболее важные для практики их значения представлены в табл. 10.

Таблица 10

Распределение Колмогорова

l	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
P	0,270	0,178	0,112	0,068	0,040	0,022	0,012	0,006	0,003	0,002

Если теоретический закон распределения подобран, порядок применения критерия Колмогорова аналогичен рассмотренному выше для критерия Пирсона.

Однако чаще всего критерий Колмогорова применяют непосредственно для подбора теоретического закона распределения, задавшись некоторым критическим значением P =d (уровнем значимости), определяющим границу области согласия теоретического и выборочного законов (допустимой области). В этом случае для выбранного значения d по табл. 10 находят соответствующее значение l и на основе графика F ^*(x) строят допустимую область (рис. 33). Ограничивающие ее кривые F ₁(x) и F ₂(x) определяются следующими соотношениями:

Любой теоретический закон распределения, график ФРВ которого не выходит за пределы области между кривыми F ₁(x) и F ₂(x), то есть при любом значении x удовлетворяющий неравенству , считается согласующимся с результатами эксперимента. Обычно используют значения d=0,1 и соответственно l=1,22.

3.7.3. Другие задачи проверки статистических гипотез, виды критериев и

их характеристики

Рассмотренная выше задача проверки соответствия теоретического и выборочного законов распределения относится только к одному из видов задач проверки статистических гипотез [5, 20, 35, 43, 46]. Рассмотрим еще два часто встречающихся на практике вида подобных задач.

Задача статистической проверки параметрической гипотезы возникает, когда известен закон распределения исследуемой случайной величины F (x), но неизвестен один из его параметров a. Основная (нулевая) параметрическая гипотеза, обозначаемая как H, состоит в утверждении, что данный параметр имеет определенное значение: a=a₀.

По случайной выборке x ₁, x ₂,…, x_n находят несмещенную состоятельную оценку a^* параметра a и устанавливают, значимо или незначимо (допустимо) различие между a^* и a₀. Для проверки используют статистический критерий W - соответствующим образом подобранную случайную величину, зависящую от a^*. Закон распределения W определяют исходя из условия, что элементы выборки являются независимыми случайными величинами, законы распределения которых совпадают с F (x) при a=a₀, то есть из условия выполнения гипотезы H.

Выбирают значение уровня значимости d (обычно, в пределах от 0,01 до 0,05), и интервал возможных значений W разбивают на две области - допустимую W_д и критическую W_к в соответствии с условием

P (W ÎW_kê H)=d. (3.31)

Находят расчетное значение статистического критерия w ^*= W (a^*), соответствующее используемой выборке. Гипотеза H принимается, если w ^*ÎW_д, и отвергается в противоположном случае.

Как уже отмечалось выше, из-за ограниченного объема случайной выборки при использовании статистических критериев всегда имеет место риск получения неверных выводов. Возможны два варианта ошибки:

- отвергается правильная гипотеза (ошибка первого рода);

- принимается неправильная гипотеза (ошибка второго рода).

Как видно из (3.31), уровень значимости d представляет собой вероятность ошибки первого рода. Для определения вероятности ошибки второго рода необходимо, помимо основной, ввести противоречащую ей альтернативную (конкурирующую) параметрическую гипотезу G, например: a>a₀, a<a₀ или a¹a₀. Тогда вероятность ошибки второго рода b определяется следующим образом: b= P (W ÎW_дê G). Здесь, в отличие от (3.31), закон распределения W определяется при условии выполнения гипотезы G. Вероятность недопущения ошибки второго рода g=1-b называется мощностью статистического критерия.

В общем случае выбирать статистический критерий для конкретной задачи и строить запретную область следует таким образом, чтобы обеспечить максимум вероятности g. Однако на практике в большинстве случаев здесь применяют готовые рецепты. Тогда заданное значение g или b используется для определения необходимого объема выборки.

Пример: проверка гипотезы о значении математического ожидания случайной величины с нормальным законом распределения и известной дисперсией.

Основная гипотеза H: m_x= m.

Конкурирующая гипотеза G: m_x ¹m.

Статистический критерий: , (3.32)

где n - объем выборки; s _x - известное среднеквадратическое отклонение; m ^* _x - оценка математического ожидания, определяемая на основе (3.2). Закон распределения W нормальный, причем s _W =1, а . При выполнении гипотезы H получим m_W =0 (стандартизованный нормальный закон).

Допустимая область для критерия W строится в виде интервала [ w _л; w _п], причем при заданном уровне значимости d условие (3.31) примет вид:

P (W < w _лê H)+ P (W > w _пê H)=d.

Для однозначного определения границ интервала принимается дополнительное условие: P (W < w _лê H)= P (W > w _пê H)=0,5d. Тогда с учетом m_W =0 допустимая область будет иметь вид [- w _0,5d; w _0,5d]. Значение w _0,5d может быть найдено по таблицам нормального закона распределения*. Теперь по имеющейся выборке находят оценку математического ожидания и определяют по (3.32) расчетное значение статистического критерия w ^*. Основная гипотеза принимается при выполнении условия и отклоняется в противном случае.

Рекомендации по определению необходимого объема выборки при заданной вероятности ошибок второго рода приводятся, например, в [12]. Там же содержится большой набор статистических критериев для проверки других вариантов параметрических гипотез.

Задача проверки однородности случайных выборок возникает, когда в распоряжении исследователя имеются результаты двух или более самостоятельных статистических экспериментов и желательна их совместная обработка. В таком случае необходима проверка гипотезы о принадлежности имеющихся выборок к одной и той же генеральной совокупности. Для проверки таких гипотез применяются критерии однородности Смирнова-Колмогорова, Вилкоксона и др.

Критерий однородности Смирнова-Колмогорова по своей форме аналогичен критерию согласия Колмогорова. При проверке гипотезы об однородности двух случайных выборок x ₁, x ₂,…, x_n и y ₁, y ₂,…, y_m в качестве меры расхождения рассматривается величина , где F_{x ,}^* _n и F_{y ,}^* _m - статистические функции распределения, определенные соответственно по первой и второй выборкам. Далее используется закон распределения Колмогорова (табл. 10) для случайной величины .

Дата добавления: 2015-11-04