Расчет установившегося случайного процесса в нелинейной стационарной системе

Замена нелинейного звена линеаризованной моделью позволяет использовать принцип суперпозиции - провести раздельный анализ преобразования системой детерминированных и случайных составляющих входных сигналов. Особенность применения принципа суперпозиции на основе статистической линеаризации состоит в том, что для случайных составляющих нелинейное звено заменяется безынерционным звеном с коэффициентом k ₁, а для детерминированных - безынерционным звеном с коэффициентом k ₀ (при нечетной нелинейности) или постоянным сигналом j₀.

Определяемые по (4.19)-(4.22) коэффициенты статистической линеаризации оказываются функциями моментов распределения сигналов на входе нелинейности, которые, в свою очередь, вычисляются через передаточные функции системы, включающей в себя линеаризованное звено, то есть зависят от коэффициентов статистической линеаризации. Вследствие этого расчет стационарного процесса в статистически линеаризованной системе сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, требующему применения численных методов.

Рассмотрим пример такого расчета для системы, структурная схема которой приведена на рис. 42, статическая характеристика нелинейного звена - на рис. 40.

Передаточная функция линейной части

.

Задающее воздействие изменяется по закону g=vt. На входе действует случайная помеха F (t) в виде белого шума с нормальным законом распределения, нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью S ₀. Требуется определить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение сигнала ошибки в установившемся процессе.

Выделим детерминированную и случайную составляющие сигнала ошибки: . С учетом характера входных сигналов и в соответствии с принципом суперпозиции составляющие сигнала ошибки в линеаризованной системе будут определяться следующим образом:

m_x (t) = x_{g уст}, .

Для расчета детерминированной составляющей сигнала ошибки после линеаризации используется структурная схема (рис. 43, а), а для расчета центрированной случайной составляющей - структурная схема (рис. 43, б), где

,

= k ₁(m_x,σ _x).

При расчете детерминированной составляющей передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид:

.

В результате: .

Среднеквадратическое отклонение сигнала ошибки определяется через дисперсию выходного сигнала и основную передаточную функцию замкнутой системы, которая в рассматриваемом примере примет вид:

.

В результате:

, σ _{x =}σ _x (k ₁).

При заданных k _л, T и c для расчета характеристик ошибки необходимо решить систему нелинейных алгебраических уравнений:

m_x=m_x (k ₀),

σ _x =σ _x (k ₁),

k ₀ =k ₀(m_x,σ _x),

k ₁ =k ₁(m_x,σ _x),

например, методом последовательных приближений.

Дата добавления: 2015-11-04