Процессов методом весовых функций

Область применения рассмотренного спектрального метода ограничена анализом установившихся случайных процессов в стационарных системах при стационарных воздействиях. Одним из возможных методов определения характеристик нестационарных случайных процессов в системах управления является метод весовых функций.

Если известна весовая функция системы w (t,τ), то выходной сигнал Y (t) при заданном входном сигнале G (t) и нулевых начальных условиях определяется следующим соотношением (интегралом свертки) [3]:

, (4.23)

справедливым как для детерминированных процессов, так и для реализаций случайных процессов в системе.

Усреднив левую и правую части соотношения (4.23) по множеству реализаций, получим соотношение для определения математического ожидания выходного сигнала:

, (4.24)

где m_g (τ) – математическое ожидание нестационарного входного сигнала.

Аналогично может быть определена корреляционная функция:

, (4.25)

где K_g (τ, τ’) – корреляционная функция нестационарного входного сигнала.

При t ₁ = t ₂ из (4.25) получается соотношение для дисперсии:

. (4.26)

Особый практический интерес представляет определение характеристик переходного процесса в стационарной системе при стационарном входном сигнале. Такой процесс является нестационарным, и для него, как частного случая, из (4.23)-(4.26) вытекают следующие соотношения:

,

,

,

,

где w (τ) – весовая функция стационарной системы; m_g = const –математическое ожидание стационарного входного сигнала; K_g (τ – τ’) – корреляционная функция стационарного входного сигнала.

Пример. Определим математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала апериодического звена первого порядка при входном сигнале в виде белого шума: K_g (τ) = G₀ δ(τ), с m_g = const при нулевых начальных условиях:

,

,

.

Учитывая свойство δ-функции

,

для дисперсии получим:

.

Рассмотренный пример относится к числу простейших. Вычисления, очевидно, усложнятся, если рассматривать систему более высокого порядка или определять корреляционную функцию. Для нестационарной системы аналитические решения достаточно сложно получить даже для простейших случаев.

Дата добавления: 2015-11-04