Линейных системах методом динамики средних

Рассмотрим линейную нестационарную систему, описываемую уравнениями:

, i= 1,2, ..., n, (4.27)

где a_ik (t), b_i (t) – известные функции времени; x_i (t) – фазовые переменные; u_i (t) – входные сигналы. Аналогичная система уравнений будет справедлива для случайного процесса, вызванного действием на систему случайных входных сигналов. Ограничимся случаем, когда входные сигналы – коррелированные (статистически зависимые) белые шумы:

i= 1,2, ..., n, (4.28)

где X_i (t) – случайные фазовые переменные; U_i (t) – белые шумы с математическими ожиданиями и матрицей интенсивностей (4.13): i= 1,2, ..., n, j= 1,2, ..., n.

Система (4.28) позволяет определять отдельные реализации случайного процесса в системе, описываемого вектором фазовых переменных X (t)=(X ₁(t), X ₂(t),…, X_n (t)). Усреднив уравнения (4.28) по множеству реализаций, получим систему уравнений для математических ожиданий:

i= 1,2,..., n. (4.29)

Решением системы (4.29) при заданных начальных условиях , i= 1,2,..., n, могут быть определены законы изменения во времени математических ожиданий всех фазовых переменных системы.

Как было указано выше, для получения полного представления о процессе в системе желательно получить матрицу корреляционных функций (4.10). В связи со сложностью такой задачи обычно ограничиваются определением дисперсий фазовых переменных. В рамках метода динамики средних это удается сделать на основе системы уравнений для корреляционных моментов фазовых переменных

,

образующих матрицу (4.12).

Вычитая уравнения (4.29) из соответствующих уравнений (4.28), получаем систему уравнений для центрированных случайных составляющих фазовых переменных и входных сигналов:

i= 1,2,..., n. (4.30)

Найдем теперь производные корреляционных моментов, используя линейность операций дифференцирования и усреднения:

i= 1,2,..., n; j= 1,2,..., n. (4.31)

Подставим в (4.31) выражения для производных центрированных составляющих (4.30):

.

Для случая, когда входные сигналы U_i (t) – белые шумы – справедливы следующие соотношения [32]:

, .

В итоге с учетом симметричности матрицы интенсивностей G_ij (t)= G_ji (t) получим:

,

i= 1,2,..., n; j= 1,2,..., n. (4.32)

Для системы n порядка матрица моментов содержит n ² элементов, которые могут быть определены решением n ² уравнений (4.32) при заданных начальных условиях q _ij (0), i= 1,2,..., n; j= 1,2,..., n. Но благодаря симметричности матрицы моментов количества независимых переменных q _ij и независимых уравнений в (4.32) оказываются равны .

Необходимо отметить, что даже если требуется определить только дисперсии одной или нескольких фазовых переменных, необходимо совместно решать все уравнений (4.32).

Пример 1. Апериодическое звено 1-го порядка описывается дифференциальным уравнением

.

В соответствии с (4.29) уравнение для математических ожиданий имеет идентичный вид:

.

Получим уравнение для дисперсии, учитывая единственную фазовую переменную X ₁ = X и единственный входной сигнал в форме белого шума U ₁ = U с интенсивностью G (t):

n = 1,

.

При заданных m_u (t), G (t) и начальных условиях m_x (0), D_x (0) интегрированием полученных уравнений определяются m_x (t) и D_x (t). В частности, при m_x (0)= D_x (0)=0, m_u (t)= m_u = const и G (t)= G ₀= const получим решение аналитически:

, ,

что совпадает с результатами, полученными для аналогичного примера методом весовых функций.

Пример 2. Система 2-го порядка описывается уравнением

.

Требуется определить математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала при действии на входе белого шума с характеристиками m_u (t), и G (t).

Введем фазовые переменные x ₁ = y, и перейдем к системе уравнений в нормальной форме:

где a ₁₁=0, a ₁₂=1, b ₁=0, u ₁=0, u ₂= u (t).

В соответствии с (4.29) получим систему уравнений для определения математических ожиданий фазовых переменных:

или с учетом условий задачи:

. (4.33)

Составим теперь уравнения для корреляционных моментов:

,

,

,

,

где – дисперсии фазовых переменных, q₁₂=q₂₁ – корреляционные моменты связи фазовых переменных, G ₁₁= G ₁₂= G ₂₁=0, G ₂₂= G (t). Отметим совпадение правых частей 2-го и 3-го уравнений. Учитывая это обстоятельство, равенство q₁₂ и q₂₁ и условия задачи, получим в итоге:

(4.34)

.

Для определения законов изменения математического ожидания и дисперсии выходного сигнала системы необходимо решить системы уравнений (4.33) и (4.34) при заданных начальных значениях , , q₁₁, q₂₁ и q₂₂, законах изменения параметров системы и входного сигнала каким-либо численным методом.

Достаточно простое аналитическое решение может быть получено только в стационарном случае для установившегося процесса. Тогда в (4.33) и (4.34) производные можно положить равными нулю, и результат находится решением систем линейных алгебраических уравнений:

.

Дата добавления: 2015-11-04