Анализ переходных процессов в цепях первого порядка классическим методом

Цепями первого порядка будем называть цепи, которые содержат один реактивный элемент (емкость или индуктивность) и одно или несколько активных сопротивлений. Для цепей первого порядка можно за­писать дифференциальное уравнение первого порядка. Примеры простей­ших цепей первого порядка приведены на рисунке 2.2.1.

В дальнейшем будем рассматривать входные воздействия e(t) -ЭДС вида импульсных и скачкообразных процессов:

1 e(t)=E₀1(t) - единичная функция включения Хевисайда,

2 e (t)= - дельта-функция Дирака.

3 e(t)= -гармоническая функция.

Используемые функции вида единичной функция включения Хевисайда 1(t) и дельта - функции Дирака d(t) определены в [8].

а) интегрирующая RC-цепь первого порядка

б) дифференцирующая RC-цепь первого порядка

в) интегрирующая RL-цепь первого порядка

г) дифференцирующая RL-цепь первого порядка

Рисунок 2.1 – Примеры простейших цепей первого порядка

Пример 1

Рассмотрим пример нахождения переходных характеристик в цепи первого порядка при нулевых начальных условиях.

В схеме (рисунок 2.2) в момент t. = 0 ключ замыкается и ЭДС амплитудой Е1=10В подключается к цепи. Определить закон изменения тока во времени. Начальные условия нулевые.

Рис. 2.2. Классический метод анализа переходных процессов в R-C цепи.

Решение задачи классическим методом состоит из следующих этапов:

1 Этап. Анализ цепи коммутации (t< 0 до появления воздейст­вия). В результате этого анализа определяют токи индуктивностей и напряжения на емкостях в момент времени, непосредственно предшествующий появлению воздействия t=0. В рассматриваемом примере задано, что напряжение на емкости в рассматриваемый момент равно нулю: .

2 Этап. Определение независимых начальных условий. Независимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения на емкостях в момент времени непосредственно после появления воздействия t = 0+. В данном примере Uc(0+)=Uc(0-).

3 Этап. Составление дифференциального уравнения цепи после появления воздействия при t>0.

Для этого на основании второго закона Кирхгофа составим уравнение для контура (рисунок 1.2.2).Наиболее просто дифференциальное уравнение в символической форме составляется с использованием операторного или обобщенного сопротивления цепи:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Уравнение неудачно, так как для тока в емкости необходимо находить зависимые начальные условия. При известных навыках это сделать несложно. Но при первом знакомстве лучше использовать независимые начальные условия. Запишем уравнение для напряжения на емкости

(19)

Символическая запись дифференциального уравнения для напряжения на

емкости цепи (рисунок 2.2):

(20)

(21)

(22)

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

4 Этап. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации (при t >0). В результате этого анализа находят принужденную составляющую реакции цепи (частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения).

В рассматриваемом примере при падение напряжения на емкости U_c(t) стремится к постоянному напряжению ЭДC E₀, так как ток в цепи при этом будет неограниченно приближаться к нулю. Это следует из того, что для постоянного тока емкость представляет собой разрыв цепи. На основании (22).

где Uc уст (t) - принужденная составляющая решения.

5 Этап. Определение свободной составляющей реакции цепи. На этом этапе составляют характеристическое уравнение, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи (общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, получен­ного из исходного приравниванием к нулю правой части). Уравнение записывается для момента времени непосредственно после коммутации:

(23)

Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (23) имеет вид

(24)

Решение этого уравнения:

- корень характеристического уравнения. Корень характеристического уравнения простой, следовательно,

(25)

Неизвестную постоянную интегрирования А найдем из начальных усло­вий.

6 Этап. Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции це­пи (общее решение дифференциального уравнения) находят путем сум­мирования свободной и принужденной составляющих. Для цепи (рис.2.2).

(26)

7 Этап. Определение постоянных интегрирования. Постоянные интегри­рования находят по зависимым начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их n -1 производных в начальный момент времени после коммутации). Для определения зависимых начальных ус­ловий используют независимые начальные условия и уравнения элект­рического равновесия цепи после коммутации. В рассматриваемой за­даче задано независимое начальное условие

(27)

Из законов коммутации следует

(28)

откуда постоянная интегрирования А равна

(29)

8 Этап. Определение реакции цепи, соответствующее заданным началь­ным условиям. Подставляя постоянные интегрирования, в общее решение исходного дифференциального уравнения, находят решение, соответст­вующее заданным начальным условиям при t > 0.

Подставляя (29) в (25) найдем:

(30)

Данное решение соответствует нулевым начальным условиям. Вид решения показан на рис.2.3 для заданных численных значений:

рис. 2.3. График зависимости тока в емкости от времени.

Другим, применяемым для расчетов более сложных цепей является операторный метод, основанный на преобразовании Лапласа.

Это символический метод, в котором операции над функциями времени a (t) заменяются операциями над их символами (изображениями) – A (p). Взаимное соответствие между ними устанавливается с помощью прямого:

, (2.10)

и обратного

(2.11)

преобразований Лапласа и обозначается знаком соответствия a (t) A (p).

Здесь A (p) – изображение оригинала a (t) по Лапласу, p – оператор преобразования Лапласа или комплексная частота.

При использовании метода неизвестные i и u заменяют их операторными изображениями, а элементы цепи – их операторными схемами замещения. По операторной схеме цепи после коммутации составляется система алгебраических уравнений, решая которые находят операторные изображения искомых токов и напряжений. Далее, с использованием обратного преобразования Лапласа, определяются оригиналы для этих изображений. С использованием операторной схемы цепи определяют также операторные входные сопротивления и проводимости:

, , (2.12)

передаточные сопротивления и проводимости:

, , (2.13)

а также коэффициенты передачи по току и напряжению:

, . (2.14)

В теории линейных цепей реакцию на произвольное входное воздействие исследуют также посредством его представления суммой элементарных единичных функций Хевисайда:

(2.15)

и Дирака:

. (2.16)

При этом используется Теорема суперпозиции – свойство линейных инвариантных во времени цепей заключающееся в том, что реакция на сумму входных воздействий равняется сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Это позволяет ввести такие временные характеристики цепи, как переходная характеристика – реакция на функцию Хевисайда: и импульсная характеристика – реакция на функцию Дирака: . Реакция же цепи на сложное воздействие будет интегральной суммой (интегралом Дюамеля), содержащей переходную и импульсную характеристики:

,

. (2.17)

Здесь x (t) – воздействие на цепь, а y (t) – ее реакция.

Переходная и импульсная характеристики цепи могут быть определены с использованием классического метода анализа реакции на соответствующие входные воздействия, либо через операторный коэффициент передачи цепи:

. (2.18)

Приведенные соотношения используются при выполнении заданий 1-5 самостоятельной работы №2 и подробно обсуждаются в [2,3]. С примерами решения задач можно ознакомиться в [4, 6].

Контрольная работа № 2
Варианты заданий

Вариант №1

 

 

Вариант № 2

 

 

Вариант № 3

 

 

 

Вариант № 4

 

 

 

Вариант № 5

 

 

 

Вариант № 6

 

 

 

Вариант № 7

 

Для схемы задания начертить эквивалентную операторную схему. Найти изображения тока I_C(p).

 

Вариант № 8

 

 

 

Вариант № 9

 

 

 

Вариант №10

 

 

 

Вариант №1 1

 

 

 

Вариант №1 2

 

 

 

Вариант №1 3

 

 

Вариант №14

 

 

Вариант №15

 

Вариант №16

 

 

Вариант №17

 

 

 

Вариант №18

 

 

Вариант №19

 

 

Вариант №20

 

Вариант №21

 

Вариант №22

 

 

Вариант №23

 

 

Вариант №24

 

 

Вариант №25

 

Дата добавления: 2015-11-03