Основные расчетные соотношения. Для определения токов и напряжений в электрической цепи по заданным параметрам

Для определения токов и напряжений в электрической цепи по заданным параметрам источников и элементов составляется и решается система уравнений электрического равновесия. Эта система состоит из топологических и компонентных уравнений. Топологические – это уравнения, составленные по законам Кирхгофа для токов (первый закон Кирхгофа) для каждого из независимых узлов или сечений (уравнение баланса токов):

. (1.1)

и напряжений (второй закон Кирхгофа) для каждого из независимых контуров (уравнение баланса напряжений):

. (1.2)

Здесь i_n (t) – ток n -й, ветви, взятый с минусом ( =-1), если он втекает в узел, и с плюсом – если вытекает( =1). Это справедливо и для ветвей с источниками тока. В этом случае они входят со знаком плюс в правую часть уравнений, если ток источника втекает в узел.

В ЗКН u_k (t) – напряжение на k -й ветви, взятое с плюсом, если совпадают выбранные направления тока в ветви и обхода контура ( =1), в который эта ветвь входит. В противном случае u_k (t) отрицательно, ( =-1). Для ветвей с источниками напряжения, напряжение источника входит в напряжение ветви со знаком минус, если стрелка внутри источника совпадает с условно выбранным направлением напряжения ветви, в противном случае – со знаком плюс. В этом случае источник ЭДС входит в правую часть уравнения со знаком плюс, если стрелка внутри источника и направление обхода контура (контурного тока) совпадают. Что касается источников тока, то напряжение ветви на каждом из них можно выбирать произвольно. На идеальном источнике тока напряжение на нем находится на основании решения полной системы уравнений для данной цепи.

В топологии доказывается, что в электрической цепи, состоящей из q узлов и p ветвей независимых узлов K _ну:

K _ну= q -1-N_E, (1.3)

а независимых контуров K _нк:

K _нк = p - q +1- N_J. (1.4),

Где: N_E- число идеальных источников напряжения, которые не могут быть преобразованы в эквивалентные источники тока, N_J - число идеальных источников тока, которые не могут быть преобразованы в эквивалентные источники напряжения.

Это означает, что для не имеющей особенности цепи количество независимых уравнений, которое может быть составлено по первому закону Кирхгофа для токов равно q -1, а по второму закону Кирхгофа для напряжений p - q +1.

Компонентные уравнения связывают токи и напряжения на идеальных пассивных элементах. Количество этих уравнений p - p _ит- p _ин, где p _ит и p _ин – количество ветвей с идеальными источниками тока и напряжения соответственно. Эти уравнения имеют следующий вид для сопротивления, емкости и индуктивности:

i_R = u_R / R; ; . (1.5)

Для цепи, находящейся под гармоническим воздействием, составляется комплексная эквивалентная схема замещения, в которой мгновенные токи и напряжения представляются их комплексными амплитудами ( и соответственно):

,

, (1.6)

а пассивные элементы цепи – комплексными сопротивлениями в соответствии с соотношениями:

, ; . (1.7)

Связь между токами и напряжениями в них при этом определяется законом Ома в комплексной форме

, (1.8)

а законы Кирхгофа для токов и напряжений приобретают вид:

, . (1.9)

Таким образом, система уравнений электрического равновесия становится алгебраической, но комплексной.

Что касается мощностей, то комплексная мощность, потребляемая цепью определяется в виде:

(1.10)

где - комплексная мощность, – активная мощность, характеризующая преобразование в цепи электрической в другие виды энергии, – реактивная мощность, характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником, – полная мощность, потребляемая от источника,

- комплексное сопротивление участка цепи в последовательной схеме замещения,

, - комплексные действующие значения напряжения и тока в данной ветви, - комплексно сопряженное значение тока ветви.

Метод контурных токов (МКТ) основан на том, что токи всех ветвей могут быть выражены через контурные токи. Каждый контурный ток проходит только по элементам своего контура. Количество контурных токов определяется количеством независимых контуров цепи (1.4). При наличии в цепи ветвей с идеальными источниками тока уравнения для контуров в которые они входят не составляются, поскольку их контурные токи равны токам этих источников.

Уравнения МКТ в канонические форме записываются в виде:

. (1.11)

В матричной форме:

Z*I=E;

Решение относительно контурных токов находится с использованием обратной матрицы Z^-1:

I = Z^-1*E

Здесь – собственное сопротивление n -го контура (всегда положительно), элементы – взаимные сопротивления n -го и k -го контуров, взятые со знаком плюс при совпадении по направлению контурных токов в них. Контурная э.д.с. – алгебраическая сумма э.д.с. источников, входящих в контур (при совпадении с направлением контурного тока э.д.с. источника берется со знаком плюс).

В методе узловых потенциалов (МУП) напряжения всех ветвей выражаются через разность потенциалов узлов, между которыми они включены. Количество узловых потенциалов определяется количеством независимых узлов цепи (1.3). При наличии в цепи ветвей с идеальными источниками напряжения уравнения для узлов к которым они подключены не составляются, поскольку их потенциалы равны напряжениям этих источников при подключении последних между данным узлом и базисным).

Уравнения МУП в канонические форме записываются в виде:

(1.12)

В матричной форме:

Y*U=J;

Решение относительно узловых напряжений находится с использованием обратной матрицы Y^-1:

U = Y^-1*J

Здесь – собственная проводимость n -го узла (всегда положительна) сумма проводимостей ветвей подключенных к узлу, элементы – взаимная проводимость n -го и k -го узлов – сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы взятая со знаком минус. -алгебраическая сумма токов источников, подключенных к n -му узлу (втекающие с плюсом).

Метод наложенияиспользуется для нахождения тока или напряжения в одной из ветвей, если в линейной цепи несколько независимых источников энергии. Искомый ток или напряжение представляют суммой частичных токов и соответственно напряжений , каждый из которых найден из эквивалентной схемы, полученной последовательным выключением всех (кроме одного) независимых источников:

. (1.13)

При выключении источников э.д.с. они закорачиваются, а источники тока – разрываются.

В методе эквивалентного генератора находится ток в одной из ветвей цепи. При этом, данная ветвь разрывается, а оставшаяся часть цепи представляется автономным двухполюсником – эквивалентным источником напряжения или тока. Параметрами эквивалентного источника напряжения являются напряжение и сопротивление холостого хода автономного двухполюсника. Параметрами эквивалентного источника тока являются ток короткого замыкания автономного двухполюсника и его входная проводимость. После этого, например в методе эквивалентного источника напряжения, ток ветви находится в соответствие с соотношением

, (1.14)

где – напряжение холостого хода источника, – его сопротивление, – сопротивление нагрузки источника (ветви, в которой определяется величина протекающего тока).

Дата добавления: 2015-11-03