Основные расчетные соотношения. Для переходных процессов в линейных R , L , С - цепях можно записать линейные

Для переходных процессов в линейных R, L, С - цепях можно записать линейные дифференциальные уравнения, решение которых позволяет найти токи i(t) и напряжения u (t) в этих цепях во время переходного процесса:

для активного сопротивления

(1)

для индуктивности

(2)

для емкости

(3)

Здесь использована символическая запись соотношений для токов и напряжений на элементах, в которых операция интегрирова­ния заменена символический оператор I/p — , операция дифференцирования - на оператор р – . Символическая запись уравнений позволяет легко составлять дифференциальные уравнения, таккак по виду не отличаетcя от операторных.

Причем для нахождения установившегося (стационарного) режима достаточно найти частное решение неоднородного линейного дифферен­циального уравнения (НЛДУ), в правой части которого присутствуют функции внешних воздействий (либо это постоянное напряжение, либо синусоидальная, либо некоторая периодическая функция). Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения опре­деляет установившийся режим цепи или иначе его называют вынужденным режимом. Частное решение обращает уравнение в тождество. Довольно часто его можно найти методом подбора, или любимым методом студентами – методом подгонки решения. Обозначим, например, вынужденный ток - .

Для нахождения переходного процесса необходимо определить полные решения дифференциальных уравнений цепи. Как известно [8], полное решение линейного дифференциального уравнения получается как сумма частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения и полного решения однородного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ), которое получается из того же уравнения цепи, если положить в нем заданные ЕДС (внешние воздействия) равными нулю. Обозначим полное решение ОЛДУ - Оно носит название свободного тока.

Таким образом,

(4)

Если рассматривать асимптотику решения полного тока в цепи, то можно видеть, что при стремлении текущего значения времени к бесконечности полный токстремится к вынужденному току, а сво­бодный ток к нулю: t — , , . Это происходит потому, что свободный ток находится при отсутст­вии внешних источников.

Следует отметить, что в цепях с одним энергоемким элементом переходный процесс апериодический. В цепях с малыми потерями, содержащих индуктивность и емкость при коммутации возможно появление колебаний. Это явление наблюдается при отрицательном дискриминанте квадратного характеристического уравнения (корни уравнения комплексно сопряженные).

Для последовательной RLC – цепи это соответствует ее добротности (сопротивление потерь , где – характеристическое сопротивление). При этом свободные колебания в цепи имеют частоту:

, (2.9)

где – резонансная частота цепи, а – коэффициент их затухания.

Сопротивление потерь добротность () соответствует критическому режиму для возникновения колебаний.

Классический метод применяют, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие после коммутации гармоническое или постоянное.

Дата добавления: 2015-11-03