Построение моделей случайных процессов в дискретных системах

Для описания случайных процессов в дискретных системах используются те же характеристики, как и для непрерывных систем, но здесь вместо непрерывного времени они рассматриваются как функции дискретного аргумента n. Ограничимся рассмотрением одномерного случайного процесса.

Математическое ожидание случайного процесса рассматривается в форме m_x (n)= M [ X (n)], если процесс наблюдают в дискретные моменты времени t = nT ₀ (T ₀ - шаг дискретизации времени, n - целое число), или m_x (n,e)== M [ X (n,e)], если процесс наблюдают в смещенные моменты времени t =(n+ e) T ₀ (e - смещение, 0£e£1).

Корреляционная функция определяется в форме

или соответственно

К_x (n,e, n ₁,e₁)= M [(X (n,e)- m_x (n,e))(X (n ₁,e₁)- m_x (n ₁,e₁))].

Значение корреляционной функции при n = n ₁ и e=e₁ дает дисперсию случайного процесса:

К_x (n, n)= D_x (n), К_x (n,e, n,e)= D_x (n,e).

Для стационарного процесса m_x (n,e)= m_x = const, K_x (n,e, n ₁,e₁)= K_x (n ₁- n).

Аналогичные замены аргументов выполняются для функций ПРВ и ФРВ, а также для всех средних характеристик многомерных случайных процессов.

Все рассмотренные методы построения моделей случайных процессов применимы и для дискретных систем с некоторыми отличиями, обусловленными особенностями их описания:

- вместо дифференциальных уравнений используются разностные;

- вместо преобразования Лапласа используется z -преобразование и далее для применения частотных и спектральных методов - w -преобразование, переход к псевдочастоте и так далее.

Рассмотрим особенности построения моделей случайных процессов в дискретных системах на примере метода весовых функций.

Весовая функция нестационарной дискретной системы определяется в виде w (n,e, k), где n, k - целые числа, e - смещение (0£e£1). Для стационарной системы: w (n-k,e) или w (n,e), считая формально k= 0.

При заданном входном сигнале G (n) и известной весовой функции выходной сигнал дискретной системы определяется конечной суммой:

, (4.40)

являющейся аналогом интеграла свертки (4.23) для непрерывной системы. Здесь G и Y - реализации случайных процессов.

Усреднив (4.40) по множеству реализаций, получим формулу для определения математического ожидания выходного сигнала:

. (4.41)

Для корреляционной функции также имеет место соотношение, аналогичное (4.25),

(4.42)

или для дисперсии

. (4.43)

Если входной сигнал представляет собой белый шум K_g (k, l)=G₀d _kl, где d _kl =d(k - l) - единичная импульсная функция, вторая сумма в соотношении (4.43) сокращается до одного слагаемого:

,

и в результате

(4.44)

Для стационарной системы и несмещенных моментов времени соотношения (4.40)-(4.44) принимают вид

,

,

,

,

(4.45)

Дата добавления: 2015-11-04