Задачи и упражнения

1. Приведите примеры собственных и несобственных функций. Является ли

f(x) =

собственной функцией? А функция h(x) = max{f(x),0}, x R?

2. Пусть f(x) – выпуклая функция, показать, что dom f – выпуклое множество.

3. Показать, что f₊(x) = max{f(x),0}, x R – является выпуклой функцией, если f(x) – выпукла на R.

4. Используя определение выпуклости, показать выпуклость следующих функций:

а) f(x) = |x|;

б) f(x) =

в) f(x) =

5. Пусть f(x) – выпуклая функция на выпуклом множестве Х. Показать, что множество

М_а(f) X = {x X: f(x) a} выпукло для любого a Rⁿ. Привести пример невыпуклой функции, у которой любое множество уровня является выпуклым множеством.

6. Пусть g_i(x), i = - выпуклые функции. Показать, что X = {x Rⁿ: g_i(x) 0, i = } – выпуклое множество.

7. Пусть f(x) – выпуклая функция. Являются ли |f(x)| выпуклой функцией?

8. Пусть f(x) – выпуклая функция и f(x) 0. Показать, что g(x) = [f(X)]² – выпуклая функция.

9. Доказать, что ||x|| и ||x||², x Rⁿ, где ||x|| = , являются выпуклыми функциями. Является ли ||x||², x Rⁿ сильно выпуклой функцией?

10. Используя определение, показать, что f(x) = ax² + bx + c, x R выпукла при любом а>0. Является ли эта функция сильно выпуклой?

11. Пусть f(x) = ||Ax – b||², где А – заданная матрица n m, b Rⁿ. Доказать, что f(x) выпукла на R^m, а если А^ТА – невырождена, то а) f(x) выпукла на R^m; б) f(x) сильно выпукла на R^m. Найти f ’(x), f ’’(x).

12. Используя определение выпуклости функций, показать, что J(x(^.)) = - выпуклая функция, если x(^.): [t₀, t₁] R, x(^.) C([t₀, t₁]).

13. Используя критерий выпуклости дифференцируемых функций, показать, что f(x) – выпуклая функция:

a) f(x) = -lnx, x>0;

б) f(x) = e^αx, α – произвольное число;

в) f(x) = x^-1, x>0;

г) f(x) = x^P, x 0, p 1;

д) f(x) = , x {x R²|x₂>0};

е) f(x) = 2x₁² + x₁x₂ + x₂², x R².

14. Показать, что если f(x) – выпуклая функция и f(x)<0 для любого х, то g(x) = также является выпуклой.

15.^* Является ли функция f(x) = ln , x Rⁿ выпуклой?

16. Верно ли, что если f(x) – выпуклая функция на [a,b] dom f, a, b R, то она непрерывна на [a, b]? Верно ли, что выпуклая на (a, b) dom f, a, b R функция является непрерывной?

17. Используя неравенство Иесена и выпуклость функции g(x), доказать, что

a) для x_i 0, i = (использовать выпуклость g(x) = -lnx, x>0);

б) m^n-1 , x_i>0, i = . (использовать выпуклость g(x) = x^P, P 1, x 0);

в) m², x_i > 0, i = . (использовать выпуклость g(x) = x^-1, x>0).

18.^* Пусть (x) непрерывна и (x) 0, x R. Доказать, что функция f(x) = выпукла при условии, что интеграл сходится.

19.^* Привести пример двух выпуклых функций, произведение которых невыпукло. При каких условиях произведение двух выпуклых функций выпукло? Достаточно ли для этого положительности сомножителей?

20.^* Доказать, что функция f(x) выпукла на выпуклом множестве Х тогда и только тогда, когда функция g(x) = f(x + t(p –x)) одной переменной t[0, 1] выпукла при любых x, p X, x dom f.

21. Проверить, является ли функция f выпуклой (вогнутой) на заданном множестве Х, или указать такие точки из Х, в окрестности которых f не является ни выпуклой, ни вогнутой.

а) f(x) = x₁⁶ + x₂² + x₃² + x₄² + 10x₁ + 5x₂ – 3x₄ – 20, X= R⁴;

б) f(x) = 6x₁² + x₂³ + 6x₃² + 12x₁ – 8x₂ + 7, X = {x R³: x 0}.

22. Выяснить, при каких значения α является выпуклыми следующие полиномы:

а) f(x) = αx₁²x₂² + (x₁² + x₂²);

б) f(x) = αx₁²x₂² + (x₁ + x₂)⁴.

23. Пусть f(x) определена и выпукла на выпуклом замкнутом множестве Х. Можно ли утверждать, что

а) f(x) ограничена снизу на Х.

б) f(x) достигает своей нижней грани на множестве Х?

24. Доказать, что функция f(x) = на [a, b] является выпуклой функцией, где C([a, b]) и (t) – неубывающая функция.

---

Дата добавления: 2015-09-01