Свойства выпуклых множеств.

1. Пересечение произвольного числа выпуклых множеств выпукло, т.е. если X_i – выпуклое множество, i I, где I – произвольный набор индексов, то X = X_i – выпукло.

2. Если множества X₁ и X₂ – выпуклы, а₁ и а₂ – произвольные вещественные числа, то множество X = а₁X₁ + а₂X₂ – выпукло, где

а₁X₁ + а₂X₂ = {x Rⁿ: x = a₁x₁+a₂x₂, x₁ X₁, x₂ X₂}.

3. Если X – выпуклое множество и точки х₁,х₂,…,х_m принадлежат Х, то Х содержит все их выпуклые линейные комбинации.

4. Выпуклая оболочка произвольного множества Х совпадает с множеством всех выпуклых комбинаций точек из Х.

Замечание. Из свойств 3 и 4 следует критерий выпуклости: множество Х выпукло в том и только в том случае, если оно содержит все выпуклые комбинации своих точек.

5. Пусть Х – выпуклое множество, тогда и int X – выпуклые множества.

Важную роль в теории экстремальных задач играют теоремы отделимости.

Теорема о разделяющей гиперплоскости. Пусть Х – замкнутое, выпуклое множество, а – точка в пространстве Rⁿ, а Х. Тогда существует гиперплоскость с нормалью р 0 такая, что

(р,а)>с и (р,х) с для х Х.

Геометрически существование разделяющей гиперплоскости можно продемонстрировать следующим образом.

Замечание. Если не выполнены условия теоремы, то разделяющую гиперплоскость провести можно не всегда (см. рис. 3)

Определение. Гиперплоскость (р,х) = с называется опорной к множеству Х в точке х₀ Х, если для х Х выполняются соотношения

(р,х) с и (р,х₀) = с.

На рис. 4 – 6 приведены примеры взаимного расположения выпуклого множества Х и гиперплоскостей, опорных к Х в точке х₀.

Теорема об опорной гиперплоскости. В любой граничной точке х₀ к выпуклому замкнутому множеству Х можно построить опорную гиперплоскость.

Следует заметить, что для невыпуклых множеств это неверно: не через всякую граничную точку можно провести опорную гиперплоскость; так, на рис. 7 изображено множество Х, для которого через точку х₀ нельзя провести опорную гиперплоскость.

Теорема отделимости. Если Х₁ и Х₂ – выпуклые непересекающиеся множества, то существует вектор р Rⁿ, р 0 такой, что (р,х₁) (р,х₂) для любых х₁ Х и х₂ Х₂.

Определение. Пусть f: Rⁿ R. Множество пар y R и x Rⁿ таких, что f(x) y называется надграфиком функции f и обозначается epi f.

Пример. На рис. 8 изображён надграфик функции f(x) = |x|, область epi f находится над графиком y = |x|.

Определение. Проекцией точки а Rⁿ на множество Х Rⁿ называется точка р Х такая, что

||p-a|| ||x-a|| для любых х Х и обозначается Р_х(а).

Теорема. Пусть Х – выпуклое, замкнутое множество, точка а Rⁿ. Тогда проекция Р_х(а) существует и единственна.

Дата добавления: 2015-09-01