Критерии выпуклости

1. Функция f(x) выпукла на всём пространстве тогда и только тогда, когда функция g(t) = f(x + tp) одной переменной t [0,1] выпукла при любых х, р.

2. Дважды непрерывно дифференцируемая функция f, определенная на выпуклом множестве Х, выпукла на Х в том и только том случае, если

(f ”(x)y,y) 0 x X, y Rⁿ,

т.е. если f ”(x) – матрица вторых производных функции f неотрицательно определена в любой точке х множества Х.

3. Пусть f(x) дважды непрерывно дифференцируема на Х, Х – выпуклое множество. Тогда f(x) – сильно выпуклая функция с параметром >0 на Х в том и только в том случае, если

(f ”(x)y,y) ||y||² для y Rⁿ и х Х.

Замечание. Выяснить, является ли эрмитова матрица А неотрицательно определённой можно, использовав один из следующих критериев.

1) Матрица А неотрицательно определена (А 0) тогда и только тогда, когда все её собственные значения неотрицательны.

2) А 0 в том и только в том случае, если все главные миноры (т.е. определители вида

…i_k = det ,

где 1 i₁<i₂<…<i_k n, k = ) – неотрицательны.

В теории решения экстремальных задач играют важную роль следующие теоремы.

Теорема. Пусть f(x) – выпуклая функция на выпуклом множестве Х. Тогда любая точка локального минимума f(x) на Х является точкой глобального минимума.

Теореме. Пусть f(x) – строго выпуклая функция на выпуклом множестве Х и множество её точек минимума Х_* непусто. Тогда Х_* состоит из единственной точки.

Теорема. Пусть f(x) – непрерывно сильно выпуклая функция с параметром >0 на Х, Х – замкнутое, выпуклое, непустое множество. Тогда решение задачи f(x) min, х Х существует и единственно.

Дата добавления: 2015-09-01