Задачи и упражнения. 2. Приведите пример односвязного невыпуклого множества

1. Пусть х⁰ Rⁿ, r R, r > 0. Является ли выпуклым шар радиуса r без центра

S(x⁰,r) = {x Rⁿ: |x-x⁰|| r}\{x⁰}?

2. Приведите пример односвязного невыпуклого множества, которое в результате удаления из него нескольких точек становится выпуклым.

3. Показать, что множество Х = {x Rⁿ: Ax = b, x 0} выпукло.

4. Являются ли выпуклым множество Х Rⁿ, если для любых x и v из X точка (х + +v) X?

5. Пусть x,v Rⁿ и x v. Проверить выпуклость множества Y = {y Rⁿ: y = (1-α)x + αv, α R}.

Замечание: Y – прямая, проходящая через точки x и v.

6. Верно ли, что если - выпуклое множество, то Х – выпукло? Верно ли, что если int X– выпуклое множество, то Х – выпукло?

7. На плоскости даны множества Х₁ и Х₂ (рис. 9 – 11), построить множества Х₁ + Х₂ и Х₁ – Х₂.

8. Пусть Х = Х₁ – Х₂. Следует ли отсюда, что Х₁ = Х + Х₂? Рассмотреть пример множеств, заданных на рис. 12.

9. Построить выпуклую и замкнутую выпуклую оболочку множества Х:

1) Х = {x R²: x₁² = x₂};

2) X = epi f, f(x) = |x|, x R;

3) X = epi f, f(x) =

4) X = epi f, f(x) = , x R;

5) X = epi f, f(x) =

10. Пусть Х = {x Rⁿ: a_i x_i b_i, i = }, y Rⁿ. Построить проекцию точки y на X.

11. Пусть Х = {x Rⁿ: ||x – a|| R}, a Rⁿ. Построить проекцию точки y Rⁿ на X.

12. Построить опорную гиперплоскость к множеству Х в точке х⁰ :

1) Х = {xR3: x₁² – 2x₁x₂ + 10x₂² + 6x₂x₃ + x₃² 25},x⁰ = (4,1,1);

2) X = {x R²: e^x1 x₂, x₂ 1}, x⁰ = (0,1).

13. Построить разделяющую гиперплоскость для выпуклых множеств Х₁ и Х₂ :

X₁ = {x R²: x₂(x₁ - 1) 3, x₁<1},

X₂ = {x R²: (x₂ + 4)(x₁ + 2) 3, x₁> - 2}.

14*. Доказать, что если Х – выпуклое множество с непустой внутренностью, то луч, проведённый из любой внутренней точки множества Х, пересекает границу Х не более, чем в одной точке.

Дата добавления: 2015-09-01