Бесконечно большие и бесконечно малые функции.ихсвойства.примеры.

Функция называется ограниченной при х стремящимся к а,если существует такая окрестность и такое число М>0,что |f(x)|<M для любых х из этой окрестности. Ф-я y=f(x) называется бесконечно большой при х->а,если для любого числа ε>0 существет δ зависящая от ε,такое что для всех х удовлетворяющих неравенству 0<|x-a|<δ следует |f(x)|>ε. F(x)-бесконечно большая при х->а,если сущ-ет окрестность точки а во всех точках которой значение ф-и по модулю больше сколь угодного числа ε.(limf(x)=∞,при х->а)

Если y=f(x) имеет конечный предел при х->а,то ф-я является ограниченной в некоторой окрестности а.

Ф-я y=α(x) называется бесконечно малой при х->а если для любого числа ε>0 существует δ зависящее от ε,такое что для всех х удовл.неравенству0<|x-a|<δ следует,что |α(x)|<ε.(lim α(x)=0,при х->а).

Свойства:1)б.м.±бм=бм 2)бм*бм=бм 3)бм*огр=бм 4)огр\бм=бб 5) бб±бб=бб 6)бб*бб=бб 7)бб*огр=бб(огр≠0) 8)огр\бб=бм

Всёостальное дает неопределенности (∞-∞),(0\0) и т.д.
16)Теоремы о конечных пределах.

1)Основная теорема о конечных пределах:Для существования конечного пердела limf(x) при х->а f(x)=B,необходимо чтобы y=f(x) можно было представить в виде суммы б.м. велечин
(f(x=B+α(x))).

2)Предел суммы и разности ф-и:
Если limf(x) при х->а=A и limg(x) прих->а=B,где А и В-числа,тоlim(f(x)±g(x))=A±B

3)Предел произведения: Если lim f(x) при х->а=Aи lim g(x) при х->а=B,где А и В-числа,тоlim(f(x)*g(x))=A*B.Следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела.

4)Предел отношения 2 ф-ий: Если lim f(x) при х->а=A и lim g(x) при х->а=B,где А и В-числа, В≠0, то lim(f(x)\g(x))=A\B

5)О предельном переходе в неравенствах: Если в некоторой окрестности а, выполняется условие f(x)≤g(x) исуществуют пределы lim f(x) при х->а=A и lim g(x) при х->а=B, и конечные пределы,тоЕсли lim f(x) при х->а≤lim g(x) при х->ат.е А≤В

Следствие:Еслиy=f(x)>0 и lim f(x) при х->а=A, то lim f(x) при х->а≥0 т.е. А≥0

6)Теорема о промежуточной ф-и: Если в некоторой окрестности точки а выполняется условие f(x)≤u(x)≤g(x) и существует предел lim f(x) при х->а=A и lim g(x) при х->а=B, то существует предел limu(x) при х->а.

17)Первый и второй замечательные пределы.Число е.
1зам.предел)Доказательство:отложим на тригонометрическом круге угол α.считаем что 0<α<π\2. Достроем хорду VU, WU перпендикулярно 0U, VTперпенд. 0U. S_0VT-самая маленькая,S_0VU-средняя, S_0WU-большая.S_сек=1\2*R²*α.S_0VU=1\2VT*0U, Sсек=1\20U²*x, S_OWU=\2 0U*WU, следует VT<x<WUsinx<x<tgx(разделим на синус х),

1<x\sinx<1\cosx,перейдем к обратным велечинам 1>sinx\x>cosx, cosx<sinx\x<1.Перейдем к пределу: limcosxприx->0+0 <limsinx\xпри x->0+0<lim 1 при х->0+0. 1<lim при х->0+0<1. х->0+0 -стремиться к 1,тогда limsinx\x при x->0+0=1.

2зам.предел) е=2.71

---

Дата добавления: 2015-09-04