Непрерывность функции в точке.Точки разрыва функции и их классификация.Свойства непрерывных функций.Свойства функций,непрерывных на отрезке.

Функция y=f(x) непрерывна в точке х₀ ϵ ООФ,если любому бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.Точки в которых нарушается непрерывность функции,называются точками разрыва.

Для того чтобы функция была непрерывна в точке х₀необходимо выполнение 3 условий: 1) точка х₀ ϵ ООФ вместе некоторой окрестностью. 2)Существует конечный предел при х->0-0 и х->0+0 3)Значение функции совпадает со значением предела. F(0)=0 x=0 точка непрерывности.

Классификация точек разрыва: 1 рода а)Устранимый разрыв lim f(x)=A≠f(x₀) при х->х₀ б)Скачок lim f(x)=A при х->х₀ слева ≠lim f(x)=В при х->х₀ справа 2 рода: бесконечные разрывы lim f(x)=∞ при х->х₀-0 или lim f(x)=∞ при х->х₀+0

Свойства непрерывных фукнций: 1)Если ф-я y=f(x) непрерывна в х₀,тознак ф-ии и знак предела можно поменять местами.

2) Если ф-я u(x) и v(x) непрерывны в точке х₀,то в этой точке u±v,u*v,u\v,u(v(x)) и v(u(x)) так же непрерывны. 3)все основные элементарные функции непрерывны во всей своей области определения. 4)Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Свойства ф-ий непрерывных на отрезке: 1) Еслиy=f(x) непрерывна на отрезке ab,то она достигает на отрезке ab своих наибольшего и наименьшего значений. Если y=f(x) имеет разрыв на отрезке ab,то она может не достигать наибольшего и наименьшего значений. 2)Если y=f(x) непрерывна на отрезке ab,то она ограничена. 3) Если y=f(x) непрерывна на отрезке ab и f(a)=A, f(b)=B,то для любого числа А<C<B, найдется ab,точка С,такая что f(c)=C, т.е. перехода от 1 своего значения А к В,непрерывная ф-я принимает все промежуточные значения.

Дата добавления: 2015-09-04