Производная функции в точке.Её геометрический и механическийсмысл.Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.

Производной y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции Δy к прирощению аргумента Δх, когда Δх->0,если этот предел существует и конечен.

LimΔy\Δх при Δх->0=y`.

Геометрический смысл производной:y=f(x) – это tg угла наклона касательной к графику y=f(x) т.е. y`=tgα=k

Механический смыс:t-время,s(t)-закон прямолинейного движения,тоS`(t)=v(t) движение в момент времени t.

Если существует производная функции в этой точке,то функция в точке называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема: Если функция y=f(x)дифференцируема в некоторой точке х,то она непрерывна в этой точке. Следствие:Если ф-я y=f(x) терпит разрыв в точке х,то производная в этой точке не существует.Необходимое условие существования производной: функция должна быть непрерывной.

Основные правила дифференцирования: производная от суммы и разности функций, производная от произведения и от дроби. Производная сложной и обратной функции.Основные правила дифференцирования: 1Производная от постоянной равна 0. 2Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: 3Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: 4Производная частного двух функций, если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак производной: Производная от сложной функции: Если функция,где дифференцируемые функции, то производная будет равна производной внешней функции на производную внутренней функции: Производная от обратной функции: Если функция -дифференцируемая функция и существует обратная функция,то 22. Производная показательно-степенной функции. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование параметрически заданных функций.

Логарифмическое дифференцирование:
Это дифференцирование функции с предварительным ее логарифмированием. Используется, если функция показательно-степенная или упрощается при логарифмировании.
1.Производная показательно-степенной функции:







2. Логарифмирование:




Дифференцирование параметрически заданных функций:

23. Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между прямыми.
Угол между кривыми -угол между касательными к кривым в точке пересечения.
Уравнение касательной: y-y₀=f^|(x₀)*(x-x₀)
Нормаль к кривой - прямая, перпендикулярная касательной в точке касания.
Уравнение нормали:
24. Теоремы о дифференцируемых функциях: теоремы Ролля и Лангранжа. Формула конечных приращений.
Теорема Роля(теорема о нулях производной).
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема во всех внутренних точках и принимает на концах отрезка одинаковые значения f(a)=f(b),тогда существует по крайней мере одна точка в которой производная функции равна 0.
Геометрический смысл: Если f(a)=f(b),то найдется хотя бы одна точка , в которой касательная параллельна оси ОХ
Если производная в т.М существует, то уравнение касательной имеет вид:
У^|(М): y-y₀=f^|(x₀)*(x-x₀)
К_м=
Уравнение нормали:
Теорема Лагранжа(теорема о конечных приращениях).
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема во всех внутренних точках, то найдется хотя бы одна точка для которой выполняется равенство:

Геометрический смысл:На всякой дуге АВ графика дифференцируемой функции найдется точка,в которой касательная параллельна хорде.
Следствие(формула конечных приращений)
b-a=∆x,f(b)-f(a)=∆y, , где С- точка между х и х+∆х
Следствие(признак постоянства функции):
Если функция f(x) дифференцируема и на некотором промежутке ее производная равна 0,то функция является постоянной на этом промежутке.
25.Правило Лопиталя, его применение для раскрытия неопределенностей.
Правило: Предел отношения в двух бесконечно-малых или бесконечно-больших функциях при
х->а равен пределу отношения их производных, если предел отношения производных существует.
Правило Лопиталя помогает раскрыть неопределенности вида
При помощи правила Лопиталя можно раскрывать и неопределенности вида(преобразовав их к виду ):
, , ,
26.Монотонность функции на интервале. Достаточные условия возрастания(убывания) функции на интервале. Экстремумы функции. Необходимые условия существования экстремума дифференцируемой функции в точке.
Монотонность функции на интервале.
Пусть функция y=f(x) определена при .
Функция y=f(x)называется возрастающей на интервале (a;b), если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.
Функция называется y=f(x)называется убывающей на интервале (a;b), если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует наименьшее значение функции.
Достаточное условие монотонности функции на промежутке:
Если y=f(x) дифференцируемая функция на (a;b) и ее производная f^|(x) сохраняет знак для любого Х из этого интервала, то функция f(x) сохраняется монотонность на этом промежутке, а именно:
f^|(x)>0, , то функция возрастает
f^|(x)<0, , то функция убывает
Экстремумы функции.
Пусть х₀- внутренняя точка области определения функции(ООФ).
Точка х₀ называется точкой максимума функци и, если существует окрестность этой точки (U_Xо),такая что f(x₀)> f(x) для

Следствие: Между двумя соседними нулями дифференцируемой функции найдется хотя бы один 0 в ее производной

Точка х₀ называется точкой минимума функции, если существует окрестность в т.х₀ (U_Xо),такая что f(x₀)< f(x) для
Необходимые условия существования экстремума:
Если y=f(x) дифференцируемая функция и х₀-точка экстремума,то производная в этой точке равна0
27.Достаточные условия экстремума функции в точке по 1-ой и 2-ой производной. Определение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Точки, принадлежащие ООФ, в которых производная равна 0 или не существует называются критическими точками по 1-ой производной.
Первое достаточное условие существования экстремума функции:
Пусть y=f(x) дифференцируемая функция в ,то х₀-критическая точка.
Если f^|(x) меняет знак при переходе через т.х₀, тогда х₀- точка экстремума, причем если она меняет знак:
а) с «+» на «-»,то х₀- т.максимума
б) с «-» на «+»,то х₀- т.минимума
Если f^|(x) не меняет знак, то в т.х₀ экстремума нет.
Второе достаточное условие существования экстремума функции:
Пусть y=f(x) дважды дифференцируемая функция в т.х₀, f^|(x₀)=0
Тогда, если: f^||(x₀)>0,то х₀- т. Минимума
f^||(x₀)<0, то х₀-т.максимума
Наибольшее и наименьшее значение на отрезке.
Если функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она достигает на этом промежутке наибольшего и наименьшего значения (св-во непрерывных функций)
Пусть М-наиб.значение, m-наим.значение
М u m могут достигаться либо в критических точках,либо на концах отрезка.
Алгоритм нахождения наим. И наиб.значения:
1.Найти критические точки функции на интервале (a;b)
2.Вычислить значение функции в найденных критических точках
3.Вычислить значения функции на концах отрезка,т.е в точках х=а и х=в
4.Среди всех вычисленных значений функции выбрать наиб.и наим.значение
28. Выпуклость вверх(вниз) графика функции на интервале. Достаточные условия выпуклости кривой на интервале. Точки перегиба кривой. Достаточные условия существования точки перегиба на кривой.
Рассмотрим функцию y=f(x), х ; l- график функции
Кривая l называется выпуклой на интервале (a;b),Если все точки кривой расположены не выше касательной, проведенной в любой точке кривой.
Кривая l называется вогнутой,если все точки кривой расположены не ниже касательной, проведенной в любой точке кривой.
Точки, принадлежащие кривой и отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости называются точками перегиба.
В точках перегиба касательная пересекает кривую или не существует.
Достаточные условия выпуклости или вогнутости кривой:
Пусть y=f(x)дважды дифференцируемая функция на интервале , l-график функции.
Тогда,если вторая производная сохраняет знак на интервале ,то график функции сохраняет выпуклость или вогнутость на этом промежутке, А именно:
1.Если вторая производная > 0, то кривая-вогнутая.
2.Если вторая производная <0, то кривая-выпуклая.
Достаточные условия существования перегиба:
ПУсть y=f(x) непрерывна в т.х₀ у некоторой ее окрестности и х₀ – критическая точка по 2 производной.
Если 2 производная меняет знак при переходе через точку х₀,то т.(х₀;f(x₀)) – т.перегиба графика функции.
Если 2 вторая производная не меняет знака при переходе через точку х₀,то перегиба нет.
29.Асимптота кривой. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции и их уравнения.
Асимптота- прямая,расстояние до которой от текущей точки кривой стремится к 0 при удалении отчки от начала координат.
Вертикальные асимптоты:
Если функция y=f(x) имеет бесконечный разрыв(х₀-т.разрыва 2 рода),то прямая х=х₀ явл. Вертикальной асимптотой.
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:


Наклонные асимптоты:
Наклонная асимптота — прямая вида


Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!
Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!
30.Дифференциал функции в точке. Свойства дифференциала.
f^|(x)=

По основной теореме о пределах:


Дифференциалом функции y=f(x) имеющий конечную производную f^|(x) называется главная часть приращения функции,линейная относительно приращения аргумента и вычисляемая по формуле:

В отличие от производной,которая может быть любым числом, величина дифференциала явл.малой функцией пропорционально
Основные свойства дифференциала:
1)
2)
3)
4)d(
Приближенные значения вычисления значений функции:

Дата добавления: 2015-09-04