Понятие производной.

Пусть функция y=f (x) определена в некоторой окрестности (х ₀-d, х ₀+d) точки х ₀ (включая саму точку х ₀).

Придадим аргументу х в точке х ₀ произвольное приращение D х такое, что точка х=x ₀+D х Î (х ₀-d, х ₀+d). Тогда функция y=f (x) получит приращение D у= f (x) - f (x ₀)= f (x ₀+D х) - f (x ₀) (см. рис. 18.1).

Дадим одно из важнейших понятий математического анализа: понятие производной.

Производной функции y=f (x) в точке х ₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, (при условии, что этот предел существует).

Производную функцию y=f (x) в точке х ₀ обозначают одним из символов:

(x ₀), (x ₀), , .

Итак, по определению

	(x 0)= = = ,

(18.1)

или короче

= .

(18.2)

Рассмотрим некоторые важные примеры.

Пример 18.1. y=f (x) = с – постоянная функция (с= const). Тогда для любого значения аргумента х=х ₀ найдем D у = f (x ₀+D х) – f (x ₀)= с - с =0 для любого приращения аргумента D х, поэтому

= = =0,

т.е. производная постоянной функции равна нулю в каждой точке числовой оси. Таким образом, =0 (производная константы равна нулю).

Пример 18.2. y=f (x)=sin x.

Так как D у = sin (x+ D x)-sin x =2 sin cos , где sin – б.м. при D х →0,
sin , а функция у= cos x непрерывна: cos = cos x, то
(x)= = = cos =cos x.

=cos x  

Итак,

(18.3)

Пример 18.3. y=f (x)= а^х, a >0, а ≠1.

Напомним, что е^х -1 х, отсюда следует, что

а^х -1= е^{х ln a} -1 х ln a. Тогда

D у=а^{х+ D х} - а^х = а^х (а ^{D х} -1) а^х •D х ln а.

Отсюда

у¢ = .

= е^х

= а^х ln а  

Таким образом,

и (18.4)

Последняя формула показывает замечательное свойство числа е: показательная функция с основанием е имеет производную, совпадающую с самой функцией. Этим объясняется преимущественное использование числа е в качестве основания степени и основания логарифмов (натуральные логарифмы).

Пример 18.4. у= f (x) = log _ax, а >0, a ≠1, x >0.

Напомним, что ln(1+ x) x и log _a (1+ x) .

Тогда

D у= log _a (x +D x)-log _ax =log _a ,

откуда получаем

= = = = .

Итак,

(ln x)¢

и (18.5)

Пример 18.5. y = f (x) = xⁿ, n – натуральное число.

Используя правило возведения бинома в степень (см. формулу бинома Ньютона (13.2)), имеем D у= (х+ D х)^п-х^п = п х^п-1 D х+ х^п-2 D х²+... + D х^п,

откуда при D х ¹ 0 получим .

При D х® 0 все слагаемые правой части, содержащие множитель D х в степени с натуральным показателем, стремятся к нулю, то

= =

Таким образом,

	(х^n)¢ = n x^n-1		x ¢ = 1		(x^2) ¢ = 2x

(log_a x)¢

,,. (18.6)

---

Дата добавления: 2015-07-20