Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Различные виды уравнения плоскости

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. | СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ | Если векторы и заданы своими координатами | ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ | СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ | Если векторы , и заданы своими координатами | АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ | ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ | Различные виды уравнения прямой | Уравнение прямой, проходящей через данную точку в |


Читайте также:
  1. Алгебраические Максвелла уравнения
  2. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости
  3. Векторы на плоскости и в пространстве.
  4. Величина матки и высота стояния дна ее в различные сроки беременности.
  5. Взаимное расположение прямой и плоскости. Параллельность прямой и плоскости.
  6. Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости.
  7. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости

Каждая плоскость в пространстве Охуz определяется линейным

уравнением первой степени с тремя неизвестными.

  1. Уравнение плоскости, проходящей через

точку М 0 (x 0; у 0; z 0) перпендикулярно

вектору = { A; B; С }:

А (х - x 0) + В (y - y 0) + C (z - z 0) = 0.

2. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, образованную пересечением плоскостей А 1 х + В 1 у + С 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 z + D 2 = 0 имеет вид:

 

А 1 х + В 1 у + С 1 z + D 1 + λ (А 2 х + В 2 у + С 2 z + D 2) = 0,

 

где λ – числовой множитель.

 
 


  1. Общее уравнение плоскости:

 
 


Ах + Ву + Сz + D = 0.

 
 


Вектор = { A; B; C } – нормальный вектор

плоскости ( перпендикулярен плоскости).

 

Частные случая уравнения:

 

Ах + Ву + Cz = 0 (D = 0) – плоскость проходит через начало координат;

Ах + Ву + D = 0 (C = 0) – плоскость параллельна оси Оz (аналогичный смысл имеют уравнения Ах + Cz + D = 0 и Ву + Cz + D = 0);

Ах + Ву = 0 (D = C = 0 – плоскость проходит через ось Оz;

Ах + Cz = 0, Ву + Cz = 0 – через ось Оу и Ох соответственно);

Ах + D = 0 (В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости Оуz;

Cz + D = 0, Ву + D = 0 – параллельна плоскости Оxу и Оxz соответственно);

Ах = 0, т.е. х = 0 (В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью Оуz; y = 0, z = 0 – уравнения плоскостей Оxz и Оxy соответственно);

 

  1. Уравнение плоскости в отрезках: = 1.

 
 


а, b, с – длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых

плоскостью на осях Ох, Оу и Oz соответственно.

 

  1. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М 1(x 1; у 1; z 1), М 2(x 2; у 2; z 2), М 3(x 3; у 3; z 3):

 

= 0.

 

  1. Нормальное уравнение плоскости:

 

x cos α + y cos β + z cos γp = 0,

 

где р – длина перпендикуляра OK, опущенного из

начала координат на плоскость, α, β, γ – углы,

образованные этим перпендикуляром с положительными направлениями осей Ох, Оу и Oz соответственно

(cos2 α +cos2 β +cos2 γ = 1).

 

Общее уравнение плоскости можно преобразовать в нормальное уравнение путем умножения на нормирующий множитель ; знак берется противоположным знаку свободного члена D (в общем уравнении плоскости).

 

Пример 13. Построить плоскости, заданные уравнениями:

а) 2 у – 5 = 0, б) х + z – 1 = 0, б) 3 х + 4 y + 6 z – 12 = 0.

 

а) Плоскость 2 у – 5 = 0 параллельна плоскости Охz; она отсекает на оси Оу отрезок, равный и имеет вид, изображенный на рис.а.

б) Плоскость х + z – 1 = 0 параллельна оси Оу; она пересекает плоскость Охz по прямой х + z = 1, отсекая на осях Ох и Оz отрезки, равные 1(рис.б).

в) Общее уравнение плоскости 3 х + 4 y + 6 z – 12 = 0 перепишем в виде

3 х + 4 y + 6 z = 12, т.е. + + = 1 – уравнение плоскости в отрезках. Эта плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Оz отрезки, равные 4, 3, 2 соответственно(рис.в).

           
 
   
     
 
 

 


а б в

 

Пример 14. Уравнение плоскости 2 х – 6 y + 3 z – 14 = 0 привести к нормальному

виду.

 

Умножим обе части уравнения на нормирующий множитель

λ = = . Перед корнем стоит знак «+», т.к. свободный член С = –14 заданного уравнения отрицателен. Имеем: (2 х – 6 y + 3 z – 14)= 0, т.е.

х y + z – 2= 0. Здесь р = 2, т.е. расстояние от точки О (0; 0; 0) до плоскости равно 2;cos α = ,cos β =, cos γ = (cos2 α + cos2 β + cos2 γ = + + = 1).


Пример 15. Написать уравнение плоскости:

 

а) параллельной оси Oz и проходящей через точки М 1 (3, –1, 2) и М 2 (–1, 2, 5);

 

 

Подставляя найденные значения А и В в уравнение Ах + Ву + D =0, получаем Dx Dy + D =0. После сокращения на D получим 3 х + 4 у –5=0.

 

 

 

Пример 17. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные

точки М 1 (1, 0, –1), М 2 (2, 2, 3), М 3 (0, –3, 1).

Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют в пространстве единственную плоскость. Ее уравнение будем искать в виде Ax + By + Cz + D = 0. Т.к. точки М 1, М 2 и М 3 лежат в одной плоскости, векторы и также лежат в ней (см. рис.). Векторное произведение [ , ]

перпендикулярно плоскости, в которой они лежат. Следовательно,

в качестве нормального вектора к плоскости можно взять вектор

= [ , ]. Координаты векторов , и :

= {2 – 1; 2 – 0; 3 – (–1)} = {1; 2; 4},

= {0 – 1; –3 – 0; 1 – (–1)} ={–1; –3; 2},

= [ , ] = = 16 – 6 => = {16, –6, –1}.

Т.о., параметры А, В и С плоскости равны 16, –6 и –1 соответственно и ожидаемый вид уравнения 16 x –6 yz + D = 0. Для нахождения D подставим в это уравнение координаты любой из лежащих в ней точек М 1, М 2 или М 3 , например, М 1: 16 × 1–6 × 0– (–1) + D = 0=> D = –17.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М 1 (1, 0, –1),

М 2 (2, 2, 3), М 3 (0, –3, 1) есть 16 x –6 yz – 17 = 0.

Пример 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, –2, 3)

и линию пересечения плоскостей 2 xy + 2 z – 6 = 0 и 3 x + 2 yz + 3 = 0.

 

Для нахождения второго решения положим х = 3 (подстановка z = 0 приводит к дробным решениям, что неудобно): => М 3 (3, 8, –4). Далее, воспользовавшись способом, приведенным в примере 17, получим уравнение искомой плоскости 14 x + 7 y – 2 z + 6 = 0.

 


Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 197 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых| Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.016 сек.)