Различные виды уравнения плоскости

Каждая плоскость в пространстве Охуz определяется линейным

уравнением первой степени с тремя неизвестными.

1. Уравнение плоскости, проходящей через

точку М ₀ (x ₀; у ₀; z ₀) перпендикулярно

вектору = { A; B; С }:

А (х - x ₀) + В (y - y ₀) + C (z - z ₀) = 0.

2. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, образованную пересечением плоскостей А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂ = 0 имеет вид:

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ + λ (А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂) = 0,

где λ – числовой множитель.

1. Общее уравнение плоскости:

Ах + Ву + Сz + D = 0.

Вектор = { A; B; C } – нормальный вектор

плоскости ( перпендикулярен плоскости).

Частные случая уравнения:

Ах + Ву + Cz = 0 (D = 0) – плоскость проходит через начало координат;

Ах + Ву + D = 0 (C = 0) – плоскость параллельна оси Оz (аналогичный смысл имеют уравнения Ах + Cz + D = 0 и Ву + Cz + D = 0);

Ах + Ву = 0 (D = C = 0 – плоскость проходит через ось Оz;

Ах + Cz = 0, Ву + Cz = 0 – через ось Оу и Ох соответственно);

Ах + D = 0 (В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости Оуz;

Cz + D = 0, Ву + D = 0 – параллельна плоскости Оxу и Оxz соответственно);

Ах = 0, т.е. х = 0 (В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью Оуz; y = 0, z = 0 – уравнения плоскостей Оxz и Оxy соответственно);

1. Уравнение плоскости в отрезках: = 1.

а, b, с – длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых

плоскостью на осях Ох, Оу и Oz соответственно.

1. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М ₁(x ₁; у ₁; z ₁), М ₂(x ₂; у ₂; z ₂), М ₃(x ₃; у ₃; z ₃):

= 0.

1. Нормальное уравнение плоскости:

x cos α + y cos β + z cos γ – p = 0,

где р – длина перпендикуляра OK, опущенного из

начала координат на плоскость, α, β, γ – углы,

образованные этим перпендикуляром с положительными направлениями осей Ох, Оу и Oz соответственно

(cos² α +cos² β +cos² γ = 1).

Общее уравнение плоскости можно преобразовать в нормальное уравнение путем умножения на нормирующий множитель ; знак берется противоположным знаку свободного члена D (в общем уравнении плоскости).

Пример 13. Построить плоскости, заданные уравнениями:

а) 2 у – 5 = 0, б) х + z – 1 = 0, б) 3 х + 4 y + 6 z – 12 = 0.

• а) Плоскость 2 у – 5 = 0 параллельна плоскости Охz; она отсекает на оси Оу отрезок, равный и имеет вид, изображенный на рис.а.

б) Плоскость х + z – 1 = 0 параллельна оси Оу; она пересекает плоскость Охz по прямой х + z = 1, отсекая на осях Ох и Оz отрезки, равные 1(рис.б).

в) Общее уравнение плоскости 3 х + 4 y + 6 z – 12 = 0 перепишем в виде

3 х + 4 y + 6 z = 12, т.е. + + = 1 – уравнение плоскости в отрезках. Эта плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Оz отрезки, равные 4, 3, 2 соответственно(рис.в).

а б в

Пример 14. Уравнение плоскости 2 х – 6 y + 3 z – 14 = 0 привести к нормальному

виду.

• Умножим обе части уравнения на нормирующий множитель

λ = = . Перед корнем стоит знак «+», т.к. свободный член С = –14 заданного уравнения отрицателен. Имеем: (2 х – 6 y + 3 z – 14)= 0, т.е.

х – y + z – 2= 0. Здесь р = 2, т.е. расстояние от точки О (0; 0; 0) до плоскости равно 2;cos α = ,cos β = – , cos γ = (cos² α + cos² β + cos² γ = + + = 1).

Пример 15. Написать уравнение плоскости:

а) параллельной оси Oz и проходящей через точки М ₁ (3, –1, 2) и М ₂ (–1, 2, 5);

Подставляя найденные значения А и В в уравнение Ах + Ву + D =0, получаем Dx Dy + D =0. После сокращения на D получим 3 х + 4 у –5=0.

Пример 17. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные

точки М ₁ (1, 0, –1), М ₂ (2, 2, 3), М ₃ (0, –3, 1).

• Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют в пространстве единственную плоскость. Ее уравнение будем искать в виде Ax + By + Cz + D = 0. Т.к. точки М ₁, М ₂ и М ₃ лежат в одной плоскости, векторы и также лежат в ней (см. рис.). Векторное произведение [ , ]

перпендикулярно плоскости, в которой они лежат. Следовательно,

в качестве нормального вектора к плоскости можно взять вектор

= [ , ]. Координаты векторов , и :

= {2 – 1; 2 – 0; 3 – (–1)} = {1; 2; 4},

= {0 – 1; –3 – 0; 1 – (–1)} ={–1; –3; 2},

= [ , ] = = 16 – 6 – => = {16, –6, –1}.

Т.о., параметры А, В и С плоскости равны 16, –6 и –1 соответственно и ожидаемый вид уравнения 16 x –6 y – z + D = 0. Для нахождения D подставим в это уравнение координаты любой из лежащих в ней точек М ₁, М ₂ или М ₃ , например, М ₁: 16 × 1–6 × 0– (–1) + D = 0=> D = –17.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М ₁ (1, 0, –1),

М ₂ (2, 2, 3), М ₃ (0, –3, 1) есть 16 x –6 y – z – 17 = 0.

Пример 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, –2, 3)

и линию пересечения плоскостей 2 x – y + 2 z – 6 = 0 и 3 x + 2 y – z + 3 = 0.

Для нахождения второго решения положим х = 3 (подстановка z = 0 приводит к дробным решениям, что неудобно): => М ₃ (3, 8, –4). Далее, воспользовавшись способом, приведенным в примере 17, получим уравнение искомой плоскости 14 x + 7 y – 2 z + 6 = 0.

Дата добавления: 2015-07-25