Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости

а) Линейные неравенства Ах+Ву+С 0

Рассмотрим прямую l: Ах+Ву+С=0, которая разбивает всю плоскость на две полуплоскости (см. рис. 7.13). Обозначим через Р₊ ту из них, которую определяет вектор нормали прямой { А, В }, другую обозначим Р_- (см. рис. 7.13). Тогда справедливы утверждения.

1) Точка М (х, у) лежит в полуплоскости Р₊ тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют неравенству

Ах+Ву+С>0 (7.16)

2) Точка М (х, у) лежит в полуплоскости Р_- тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют неравенству

Ах+Ву+С<0 (7.17)

Итак, прямая l: Ах+Ву+С=0 разбивает всю плоскость на две полуплоскости, для одной из которых выполняется неравенство (7.16), а для другой неравенство (7.17).

b) Система линейных неравенств

(7.18)

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств (7.18), представляет собой пересечение полуплоскостей, определяемых каждым неравенством этой системы.

Пример 7.2. Изобразить на плоскости О ху множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

Решение. Условия х>0 и y>0 указывают на то, что искомое множество лежит в первой четверти. Построим прямую l ₁: х-2у+2=0 с нормальным вектором ₁={1; -2}, указывающим, в какой полуплоскости лежит искомое множество (см. рис. 7.14). Построим прямую l ₂: х+у-3=0. Тогда ее вектор нормали ₂={1, 1} определяет ту полуплоскость, в которой нет точек искомого множества. Поэтому искомое множество представляет собой четырехугольник ОАВС, изображенный на рис. 7.14.

Дата добавления: 2015-07-20