Соответствия и функции

Соответствием называется тройка, первая компонента которой есть подмножество пря-мого произведения множеств, являю­щихся ее второй и третьей компонентами. Обратим внима-ние на то, что все объекты, участвующие в этом определении – тройка, компонента, подмно-жество, прямое произведение, множество – ранее уже были введены и объяснены. В то же вре-мя приведённое определение не включает в себя понятий зависимой и независимой перемен-ной, закона, правила (по которым находится значение зависимой переменной, соответствующее данному значению независимой), и других не очень ясных понятий.

Соответствия будут обозначаться прописными греческими буквами. Таким образом, если Г = á G, X, Y ñ – соответствие, то, в согласии с определением, X, Y – мно­жества, a G X × Y. По построению, G является графиком, поскольку G – подмножество прямого произведения двух множеств, которое по определению является множеством пар (см. раздел 1.2). Множество G называется гра­фиком соответствия Г. Множества X и Y носят название области отправле-ния и области прибытия соответствия Г. Множество ПР₁ G называется областью определе-ния соответствия Г _, a множество ПР₂ G – областью значений соответствия Г (определения проекции см. в разделе 1.3).

Если пара á x, y ñ G, тo говорят, что элемент у соответствует элементу x в (или при) соот-ветствии Г. Если x ПР₁ G, тo говорят, что соответствие Г определено на элементе x. Элемент у называется также образом элемента x в (или при) соответствии Г.

Инверсией соответствия Г = á G, X, Y ñ называется и через Г ⁻¹ обо­значается соответствие á G ⁻¹, Y, X ñ, где G ⁻¹ – инверсия графи­ка G (см. начало раздела 4.1). Ясно, что (Г ⁻¹)⁻¹ = Г. Если Г = á G, X, Y ñ и Δ =á H, U, V ñ – соответствия, то соот­ветствие Σ = á G ○ H, X, V ñ называется их ком-позицией и обо­значается через Г ○ Δ. Из ассоциативности композиции графиков сле­дует ассоци-ативность композиции соответствий.

Сужением соответствия Г = á G, X, Y ñ на множество А называется и через Г_А обозна­чается соответствие á G∩ (А ´ Y), X, Y ñ. Обратим внимание, что области отправления и прибытия соответствия не меняются. Соответствие Δ =á H, Z, U ñ называется продолжением соответст-вия Г = á G, X, Y ñ, если G Í H, X Í Z, Y Í U.

Введём ещё одно понятие, связанное с графиками и соответствиями. Пусть G – произволь-ный график. Введём в рассмотрение соответствие графика G: Г_G = á G, ПР₁ G, ПР₂ G ñ (напом-ним, что через ПР₁ G и ПР₂ G обозначены проекции графика G). У соответствия Г_G область отправления совпадает с областью определения, а область прибытия – с областью значений. Бо-лее того, имеет место простое

Утверждение 3. Любое соответствие с графиком G является продолжением соответствия Г_G.

Соответствие называется функциональным, или функцией, если его график функциона-лен; инъективным, если его гра­фик инъективен; всюду определенным, если его область оп­ределения совпадает с областью отправления, и сюръективным, если его область прибытия совпадает с областью значений.

Соответствие, обладающее четырьмя перечисленными свойст­вами, называется взаимно-однозначным, или биективным, или биекцией.

Функция с областью отправления X и областью прибытия Y называется функцией типа X → Y.

Дата добавления: 2015-10-16