Читайте также:
|
Среди всевозможных высказываний особую роль играют составные высказывания специ-ального вида, называемые логическими рассуждениями. Дадим определение логического рас-суждения. Оно представляет собой импликацию, посылка которой (то, что стоит слева от стрел-ки) является конъюнкцией отдельных высказываний произвольного вида (предположений, пра-вил, законов, наблюдений и т.д.). Эти отдельные высказывания называются предпосылками ло-гического рассуждения. Высказывание произвольного вида, являющееся заключением импли-кации (то, что стоит справа от стрелки) называется выводом логического рассуждения. Таким образом, логическое рассуждение можно условно изобразить в следующем виде:
(P 1 Ù P 2 Ù .... Ù P k) ® C
(8)
(предпосылка 1и предпосылка 2 и .... и предпосылка k)влекут вывод
Как предпосылки, так и вывод могут быть составными высказываниями ■
Приведём примеры логических рассуждений, а также примеры составных высказываний, не являющихся логическими рассуждениями.
Пример 21. Вернёмся к высказыванию из примера 4: «Если я – Ваша женщина и Вы – мой мужчина, то я никогда не перестану любить Вас. Я перестала любить Вас. Значит, я – не Ваша женщина или Вы – не мой мужчина». В примере 4 это высказывание представле-но в виде выражения
(((P Ù Q)® R) ÙØ R) ®(Ø P ÚØ Q)
Убедимся, что данное высказывание является логическим рассуждением. Действительно, оно является импликацией. Посылка ((P Ù Q)® R) ÙØ R данной импликации является конъюнкцией двух высказываний: P 1= ((P Ù Q)® R) и P 2= Ø R. Таким образом, в соответствии с определением данное высказывание является логическим рассуждением ■
Пример 22. Рассмотрим высказывание: «Если Вы хотите улучшить свою сердечно-со-судистую систему, то стоит кататься на беговых (не горных) лыжах. Вы катаетесь на беговых лыжах. Значит, Вы хотите улучшить свою сердечно-сосудистую систему»
Положим
P = «Вы хотите улучшить свою сердечно-сосудистую систему»,
Q = «Вы катаетесь на беговых лыжах».
Высказывание имеет формальный вид ((P ® Q)Ù Q)® P. Эта выражение является импликацией, а её посылка является конъюнкцией двух предпосылок: P ® Q и Q. Таким образом, исходное вы-сказывание является логическим рассуждением ■
Пример 23. Вернёмся к высказыванию из примера 13: «Все мужчины созданы равными. Все люди, созданные равными, являются женщинами». Данное высказывание было предс-тавлено в виде (P ® R)Ù(R ® Q), который не сводится к специальному виду (8), определяющему логические рассуждения. Таким образом, данное высказывание не является логическим рассуж-дением ■
Важным понятием является понятие значимости логического рассуждения. Рассуждение называется значимым, если из истинности всех предпосылок обязательно следует истинность вывода. Проверка значимости осуществляется следующим образом.
1. Представить рассуждение, обозначая символами отдельные входящие в предпосылки и в вывод простые (т.е. исходные) высказывания, в виде выражения, представленного в виде (8).
2. Составить таблицу истинности для рассматриваемого высказывания (напомним, что ло-гическое рассуждение является частным случаем высказывания), представленного пост-роенным на шаге 1 выражением. Если высказывание окажется тавтологией (т.е. его истин-ностным значением при любых истинностных значениях входящих в него простых выска-зываний является «истина» Т), то рассуждение считается значимым; в противном случае оно не значимо.
Приведём примеры значимых и не значимых логических рассуждений.
Пример 24. Вернёмся ещё раз к высказыванию из примера 4: «Если я – Ваша женщина и Вы – мой мужчина, то я никогда не перестану любить Вас. Я перестала любить Вас. Зна-чит, я – не Ваша женщина или Вы – не мой мужчина». В примере 21 объясняется, что данное высказывание является логическим рассуждением. В таблице истинности для этого вы-сказывания (см. таблицу 13, построенную в примере 18) все значения в правом столбце – исти-на, т.е. исходное высказывание является тавтологией. По определению, это значит, что данное логическое рассуждение значимо ■
Пример 25. Рассмотрим следующее высказывание: «Если я видел дальше, чем другие, то потому, что я стоял на плечах гигантов (Ньютон). Я не видел дальше, чем другие. Следо-вательно, я не стоял на плечах гигантов». Его первая часть (до 1-ой точки) рассмотрена в примере 10. Эта часть представлена формально в виде P ® Q, где
P = «Я стоял на плечах гигантов»,
Q = «Явидел дальше других».
Исходное высказывание представляется в виде ((P ® Q)ÙØ Q)® Ø P при тех же самых P и Q. Оно записывается в виде (9):
((P ® Q) Ù Ø Q) ® Ø P,
предпосылка 1и предпосылка 2 влекут вывод
т.е. рассматриваемое высказывание является логическим рассуждением.
Построим таблицу истинности для данного составного высказывания. Все необходимые шаги указаны в таблице 17.
Таблица 17. Построение таблицы истинности для высказывания ((P ® Q)ÙØ Q)®Ø P
| p | q | 1) p→q | 2) Ø q | 3) 1Ù2 | 4) Ø p | 5) 3®4 |
| T | T | T | F | F | F | T |
| T | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
Так как последний столбец содержит только знаки «T» (истина), то высказывание является тав-тологией. Значит, логическое рассуждение значимо ■
Пример 26. Рассмотрим логическое рассуждение из примера 22. Оно представлено выра-жением ((P ® Q)Ù Q)® P. Построим таблицу истинности для данного составного высказывания. Все необходимые шаги указаны в таблице 18.
Таблица 18. Построение таблицы истинности для высказывания ((P ® Q)Ù Q)® P
| p | q | 1) p→q | 2) 1Ù q | 3) 2® p |
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | T | F |
| F | F | T | F | T |
Поскольку в последнем столбце таблицы 18 присутствует символ F, торассматриваемое выска-зывание не является тавтологией и, значит, логическое рассуждение не значимо. Более того, по той строчке, в которой в последнем столбце стоит F, можно понять, где именно «ломается» ло-гика. В данном случае это происходит при p = F и q = T. Другими словами, Вы не хотите улуч-шить Вашу сердечно-сосудистую систему (да просто Вас здоровье, к счастью, не беспокоит), а на лыжах катаетесь для удовольствия! ■
Заметим, что значимость и истинность рассуждения – понятия разные. Значимое рассуж-дение обязано быть истинным высказыванием при любых истинностных значениях входящих в него простых высказываний, а истинное высказывание вообще не обязано иметь специальный вид логического рассуждения. И в любом случае истинность любого составного высказывания определяется истинностью его простых составляющих, которая вообще не обсуждается.
Задание 9. Проверить значимость следующих логических рассуждений (построив соот-ветствующую формулу и составив по ней таблицу истинности). Предполагается, что все номера из задания 3 (в которых рассматриваются части этих же высказываний) уже выполнены, а все примеры из данной главы – внимательно проанализированы.
1. Если это дерево заражено сосновым короедом, то оно умрёт. Люди посадили дерево в День Дерева (американский праздник) и оно не умрёт. Поэтому, если люди посадили дерево в День Дерева, то оно не заражено сосновым короедом.
2. Кристина Агилера поёт или Рики Мартин не является подростковым идолом. Если Рики Мар-тин не является подростковым идолом, то Бритни Спирс не выиграет Американскую музыкаль-ную премию. Бритни Спирс выиграла Американскую музыкальную премию. Следовательно, Кристина Агилера не поёт.
3. Если Отис диск-жокей, то он живёт в Лексингтоне. Он живёт в Лексингтоне и он сдвинут на истории. Следовательно, если Отис не сдвинут на истории, то он не диск-жокей.
4. Я покупаю машину или я уезжаю на каникулы. Я не покупаю машину, следовательно, я уез-жаю на каникулы.
5. Если бы человек мог быть в двух местах одновременно, я был бы с Вами. Я не был с Вами. Следовательно, человек не может быть в двух местах одновременно.
6. «Если мы будем следовать по стопам Ньютона, это не будет прогрессом» (Алдос Хаксли). Мы не следуем по стопам Ньютона. Значит, это прогресс».
7. Если Эдди едет в город, то Мейбл останется дома. Если Мейбл не останется дома, то Рита будет готовить. Рита не готовит. Поэтому Эдди не едет в город.
8. Если я чувствую Вас всей кожей, то Вы глубоко в моём сердце. Если Вы глубоко в моём сердце, то Вы – не часть меня. Вы глубоко в моём сердце или Вы часть меня. Поэтому, если я чувствую Вас всей кожей, то Вы – часть меня.
9. Если я подпишу чек, он не будет принят. Если банк гарантирует его, он будет принят. Банк
гарантирует его. Поэтому я не подпишу чек.
10. Джефф любит играть в гольф. Если Джоан любит шить, то Джефф не любит играть в гольф.
Если Джоан не любит шить, то Брэд поёт в хоре. Поэтому Брэд поёт в хоре.
11. Если Канада – союзник Соединённых Штатов, то Соединённые Штаты относятся к Канаде дружески. Соединённые Штаты относятся к Канаде дружески. Поэтому Канада – союзник Со-единённых Штатов.
12. Если Вы спите во время утренних занятий по математике, то Вы хорошо отдохнёте. Если Вы хорошо отдохнёте, то Вы хорошо сдадите тест по математике. Поэтому, если Вы спите во время утренних занятий по математике, то Вы хорошо сдадите тест по математике.
13. Если мы сбалансируем бюджет или уменьшим налоги, то будет больше денег для борьбы с загрязнением. Если мы не сбалансируем бюджет, то мы не уменьшим налоги. Мы не уменьшим налоги. Поэтому будет больше денег для борьбы с загрязнением.
14. Если Дэйв одинок сегодня вечером, то он не пойдёт в гости. Если Дэйв не одинок сегодня вечером или он не пойдёт в гости, то он будет писать вечером свою курсовую работу. Дэйв не будет писать вечером свою курсовую работу. Значит, Дэйв не одинок сегодня вечером.
15. Если тест отрицателен, то Вы не нуждаетесь в лечении. Если тест положителен, то Вы нуж-даетесь в лекарствах. Вы не нуждаетесь в лекарствах. Значит, Вы не нуждаетесь в лечении ■
Дата добавления: 2015-10-16; просмотров: 258 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Таблицы истинности составных высказываний | | | Множества и подмножества |