Понятие высказывания

Относительно некоторых предложений естественного языка, при помощи которого мы об-щаемся, например, «2 ´ 2 = 5» или «Волга впадает в Каспийское море», имеет смысл задать во-прос: «Истинны они или ложны?» Ясно, что ответ на указанный вопрос относительно первого предложения будет отрицательным: «Нет, это неверно», а относительно второго - положитель-ным: «Да, это так». Легко видеть, что этим свойством обладают не все предложения естествен-ного языка, а только некоторые из них. Так, вряд ли разумно считать, что предложения: «Пе-редай мне, пожалуйста, эту книгу» или «Который час?» обладают свойством быть истинными или ложными. Те из предложений языка, для которых это так, будем называть высказывания-ми, или суждениями. Заметим, что все математические утверждения, как бы они не назывались (теоремы, леммы, предложения и пр.) являются высказываниями. Заметим, однако, что матема-тические определения не являются высказываниями в указанном смысле. Действительно, неяс-но, какое значение истинности естественно приписать фразе «Четырёхугольник, противополож-ные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом». А вот фразу «В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам» можно рассматривать как высказывание.

Следует сразу сказать, что понятие высказывания, будучи одним из самых важных в мате-матике, не является строгим математическим понятием. Как и важнейшие понятия множества и кортежа, оно не может быть выражено через другие формальные (т.е. ранее уже определённые в математике) объекты и поэтому рассматривается как исходное или базовое. Высказывание мож-но описать (не определить!) слегка детальнее, как повествовательное предложение, которому естественно сопоставить значение «истина» или «ложь». Только для того, чтобы убедиться в неочевидности этого, на первый взгляд, очевидного, понятия, попробуйте приписать разумное значение истинности предложению «Это высказывание ложно». Разумеется, истинность того или иного конкретного высказывания зачастую трудно, а иногда просто невозможно опреде-лить. Но в такой общей постановке это и не входит в задачи математики.

Для удобства дальнейшего изложения высказывания будем обозначать прописными бук-вами латинского алфавита. Более того, вместо словосочетания «высказывание, обозначенное символом А» будем говорить и писать просто «высказывание А».

Пример 1. Cледующие фразы являются высказываниями:

D - «2 ´ 2 = 4»

E - «Москва - столица России»

F - «Существуют синие яблоки»

G - «Все люди моложе 15-и лет» ■

Поскольку каждое высказывание (согласно данному описанию) может быть истинным или ложным (но не одновременно!), высказыванию естественно сопоставить его истинност-ное, или логическое значение, т.е. одно из слов - истина или ложь. Для краткости эти слова обычно сводятся к символам T и F, и даже к цифрам 1 и 0 (понимаемым именно как символы, а не как числа). Математическая логика (раздел математики, занимаюшийся операциями с выска-зываниями) не занимается определением истинностных значений тех или иных конкретных высказываний. В её рамках рассматриваются другие вопросы: как «правильно» формально по-строить одни высказывания, исходя из других заданных высказываний (синтаксис) и как найти истинностные значения построенных высказываний, исходя из заданных истинностных значе-ний исходных высказываний (семантика).

Задание 1. Указать, какие из следующих предложений являются высказываниями. Для высказываний установить значение истинности.

1. 7-го декабря 1941 года было воскресенье.

2. Слушайте, мои дети, и вы узнаете о ночной скачке Пола Ривера.

3. 5+8=13 и 4-3=1

4. Некоторые числа отрицательны.

5. Куда Вы идёте сегодня вечером?

6. Эндрю Джексон был президентом Соединённых Штатов в 1867 году.

7. Один галлон молока весит больше 4 фунтов.

8. У меня есть пистолет «Смит и Вессон» ■

Дата добавления: 2015-10-16