Выражения и переменные

В настоящей главе речь идёт о некоторых общих свойствах математических текстов. В них встречаются различные выраже­ния, содержащие те или иные буквы (например, латинского или греческого алфавита), символы операций (например, рассмотренные в главе 2 знаки теоре-тико-множественных операций), знаки для интегралов, частных производных, и т.д. Все симво-лы, входящие в выражения, будем – в рамках данного материалы – называть для единообразия буквами (именно, буквами математического алфавита). Будем считать, что во все упоминаемые далее выражения входит конечное число букв. Заметим, что здесь нет требования конечности самого никак формально не определяемого «математического алфавита».

Пример 1. Рассмотрим следующие выражения:

1) x ² + y ² = 1, 2) , 3) , 4) , 4) Ø P ÙØ Q º Ø(P Ú Q), 5) x > 3.

В 1-ое из них входит 6 букв: x, y, 1, 2, +, = (буква 2 входит дважды); во 2-ое – входит 10 букв: l, i, m, n, →, ∞, (,), 1, +; в 3-ье – 6 букв: , x, d, 0, 1, 2; в 4-ое – 7 букв: P, Q, Ø, Ú, Ù, (,); наконец, в 5-ое выражение входит 3 буквы: x, >, 3 ■

Не пытаясь дать формального определения выражения, заметим лишь, что выражение − это написанная в каком-нибудь разумном, понятном порядке совокупность букв математичес-кого алфавита. Мы не будем никак уточнять смысл этого термина. Это потребует от нас, разу-меется, некоторой осторожности в обращении с ним. Мы не сможем, в част­ности, формулиро-вать (и, конечно, доказывать) никаких теорем о выражениях «вообще».

Далее материал данного раздела представляет собой почти точную цитату из уже упомя-нутой (в самом начале) монографии Ю.А. Шихановича. Поскольку в текст внесены небольшие изменения, кавычки опущены.

Перейдем к центральному понятию этого раздела − поня­тию переменной. Прежде всего, ещё до объяснения этого термина, заметим, что слово «переменная» у нас будет самостоятель-ным словом, существительным, а не прилагатель­ным, определением к какому-нибудь другому существи­тельному. Никаких терминов вроде «переменная величина» у нас не будет. Что же та-коепеременная? Поскольку ответ на этот вопрос будет иметь несколько непривычный, не стан-дартный характер (он не будет, в частности, иметь вид обычного математического определе-ния), мы будем подходить к нему постепенно. Прежде всего, переменная − это просто буква. Некоторые буквы в выражении называют­ся переменными. Какие же буквы в выражении назы-ваются переменными? Те, вместо которых можно что-нибудь (например, числа, многочлены и т. д.) подставлять. Следую­щий вопрос: что значит «можно»? Предварительный ответ на этот вопрос такой: «можно» − это значит, что после подстановки выражение должно иметь смысл. Не пытаясь определить «смысл» в общем виде, ограничимся простым примером: выражение 1 ∕ x имеет смысл при x = 3и не имеет смысла при x = 0. Далее, рассмотрим, например, выраже­ние: а + х. Это выражение представляет собой слово из трех букв. Какие же буквы в этом вы-ражении являются переменными? По-видимому, прежде всего можно наз­вать букву х. Ведь общеизвестно, что х − это переменная! Если вместо х подставлять числа, то выражение, полу-чен­ное после подстановки, будет иметь смысл. Но если подстав­лять числа вместо буквы а, то выражение, по-видимому, тоже будет сохранять смысл? Значит, буква а тоже является пере-менной? А если, наконец, вместо буквы + подставить какой-нибудь из знаков −, ×,:,то выраже-ние, очевидно, тоже будет осмысленным. Значит, + тоже переменная? Какие же все-таки буквы в выражении а + х являются переменными?

После всего этого предварительного разговора перей­дем к окончательному ответу на воп-рос: что такое пере­менная? Впрочем, он тоже не уложится в одну фразу. Переменными в неко-тором данном выражении мы будем называть те буквы, которые... специальным указанием (вы-сказанным в момент задания выражения) будут объяв­лены таковыми. Таким образом, если это специально не указано, никакого ответа на вопрос «какие буквы являются переменными в вы-ражении а + х?» дать нельзя. Может показаться, что при таком понимании термина «перемен-ная» («собственно, ведь нет никакого понимания: какую букву хотим, такую назовём перемен-ной») никакой пользы от этого термина не будет. Это не так. Переменными мы будем обычно называть, объявлять в некотором рассматриваемом выражении такие буквы, вместо которых можно, вместо которых мы собираемся подставлять те или иные числа, выражения и т.п. Объ-являя букву переменной, мы тем самым привлекаем к ней внимание, предупреждаем, как мы собираемся использовать эту букву при дальнейшем обращении с рассматриваемым выражени-ем, разрешаем применять к этой букве (и ко всему выражению, содержа­щему эту букву) весь комплекс терминов и обозначений, который мы для понятия «переменная» введём. Объявляя букву переменной, полагается одновременно задавать область значений (область определе-ния) этой переменной. Опять-таки, содержательно под областью значений пере­менной понима-ется совокупность, из которой мы собираем­ся черпать значения переменной для подстановки их на место переменной. Областью значений данной переменной обычно объявляется такая со-вокупность, объекты которой естественно подставлять в рассматриваемое выражение вместо этой переменной. Разумеется, слово «естественно» употреблено в совершенно не формальном, интуитивном смысле. Тем не менее, понятно, что символы арифметических действий подстав-лять в выражение а + х вместо буквы + естественно, а тригонометрические функции неестест-вен­но. Однако формально областью значений данной перемен­ной может быть объявлено лю-бое множество. Подчеркнём, что переменная считается полностью задан­ной (так сказать, конс-титуированной в качествеперемен­ной) лишь тогда, когда ей приписана какая-нибудь область значений. Переменную, в область значений которой входят только числа, мы будем называть числовой переменной. При написании выражений в качестве букв, которые мы будем намере-ваться использовать как числовые переменные, мы будем обычно использовать наиболее при-вычные для этой цели последние буквы латинского алфавита. Переменную, значениями кото-рой являются истинностные значения «истина» и «ложь», называется высказывательной.

Введём теперь центральные понятия данного раздела. Выражение, содержащее перемен-ные, мы будем назы­вать формой; выражение, не содержащее переменных − константой. Из вышесказанного вытекает, что одно и то же выражение в одном случае, при одном своём упот-ребле­нии может быть формой, в другом − константой. Форма называется s-местной, если она содержит s переменных. Формы могут быть одноместными, двухместными, трехме­стными и т.д. Если в выражении(ах + by) х объявить переменными буквы х и у, такая форма будет, разумеется, двухместной, а не трехместной. Допустимыми значениями данной переменной относительно данной одноместной фор­мы называются те её значения (из области значений пе-ре­менной), подстановка которых вместо переменной превра­щает форму в осмысленное выра-жение. Одноместная форма называется всюду определённой, если любое значение её перемен-ной является допустимым. Одноместная форма называется нигде не определённой, если ника-кое значение её переменной не является допустимым.

Прежде, чем приводить примеры форм, обратим внимание на следующее принципиаль-ное различие между рассмотренными в первых трёх главах понятиями высказывания, множес-тва и кортежа, и введёнными здесь понятиями переменной и формы. Те понятия были содержа-тельными, т.е. не определялись формально через другие введённые ранее понятия. Именно в этом смысле указанные понятия можно считать базовыми или начальными математическими понятиями. В то же время понятие переменной определяется через введённое ранее понятие множества (буква, которой сопоставлено некоторое множество, называемое областью значений данной переменной). Формой называется выражение, содержащее переменные (которые уже формально определены). Может показаться, что отсутствие точного определения выражения делает эти понятия «не совсем» формальными. Но это не так. Важно лишь то, что выражение содержит конечное число различных букв (символов), т.е. можно формально определить мно-жество его букв и, следовательно, формально объявить часть из них переменными. Если же пе-ременные не объявлены, то выражение названо константой. Дальнейшие действия – придание определённого смысла тому или иному выражению (или указанию на его бессмысленность) – определяются для конкретных выражений конкретным образом и никак сами по себе не влия-ют на формально определяемые понятия формы и переменной.

Пример 2. Выражение не имеет смысла, если рассматриваются только действитель-ные числа, и имеет вполне конкретное значение (комплексное число i), если рассматриваются комплексные числа. Таким образом, если имеющиеся в данном выражении три буквы не объ-являть переменными, то это выражение – по определению – будет константой, значение кото-рой может быть разным, в зависимости от контекста, в котором рассматривается данное выра-жение ■

Пример 3. Пусть в выражении 1 ∕ x переменной будет буква х с областью значений { , +, 3, 5, 0}. Допу­стимыми значениями переменной х в этом случае являются 3 и 5, поскольку вы-ражения 1 ∕ , 1 ∕ +, 1 ∕ 0 не имеют смысла. Форма не является ни всюду определенной, ни нигде не определенной, так как в множестве значений переменной есть как элементы, для которых фор-ма не определена, так и элементы, для которых форма определена. Переменная х не является числовой, потому что принимает значения , +, не являющиеся числовыми ■

Задание 1. Для данной одноместной формы и данной области значений переменной х:

а) найти допустимые значения;

б) установить, является ли форма всюду определённой;

в) установить, является ли форма нигде не определённой;

г) установить, является ли форма числовой.

1. Форма 1 ∕ x, область значений {3, 5, 0}

2. Форма 1 ∕ x, область значений {3, 5}

3. Форма 1 ∕ x, область значений {0}

4. Форма 1 ∕ x, область значений { , +}

5. Форма , область значений {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}

6. Форма , область значений {–5, 4}

7. Форма , область значений {3, –4}

8. Форма , область значений {–8, 7, 100}

9. Форма , область значений {3, –4,!}

10. Форма , область значений {3, 1+ i } ■

s -местная форма называется всюду определенной, если при любых значениях своих пере-менных (из соответствую­щих областей значения) она имеет смысл. s -местная фор­ма называет-ся нигде не определенной, если при любом набо­ре значений своих переменных она не имеет смысла.

Пример 4. Рассмотрим двухместную форму с числовыми переменными x и y, для каждой из которых областью значений является отрезок [0, 1]. Легко видеть, что допус-тимыми являются пары чисел á x, y ñ, такие, что x ² + y ² ≤ 1. Ясно, что данная форма не является ни всюду определенной, ни нигде не определенной ■

Пусть – форма, x, y, z – переменные. Запись (x, y, z) означает, что в форме нет никаких переменных, отличных от x, y, z. При этом не требуется, чтобы каждая из переменных x, y, z

действительно присут­ствовала в A (хотя бы одна из этих переменных должна, конечно, присут-ствовать, так как – форма). Таким образом, двухместную форму х (а + у) с переменными х и у можно обозначать как просто , так и (х, у), (х, у, z), (х, у, z, и), но не (х). Ра-зумеется, если сказано, что (х, у, z) –трехместная форма, то каждая из переменных х, у, z действительно присутствует в . Иногда вместо того, чтобы говорить, что – форма с пере­менными х, у, z, мы будем говорить, что зависит от х, у, z. Соответственно, « не зависит от х» означает, что буква х не является переменной в форме .

Пусть (х, у, z) – форма, объекты a, b и с принадле­жат областям значений, соответст-венно, переменных х, у и z. Результат подстановки в форму объектов a, b и с вместо, соответ-ственно, переменных х, у и z мы будем обо­значать через (а, b, с). Разумеется, обозначение (а, b, с) только тогда имеет однозначный смысл, когда сказано явно или ясно из контекста, вместо какой из переменных х, у, z какой из объектов а, b, с подставляется.

Пусть (х, у, z) – форма, объекты а, b, с принадле­жат областям значений, соответствен-но, переменных х, у, z. Выражение (а, b, с) либо осмысленно, либо нет. Если (а, b, с) осмыс-ленно, это мы будем обозначать это так:! (а, b, с) и говорить в этом случае либо « (а, b, с) определено»,либо «форма (х, у, z)определена при х=а, у = b, z = с».

Пусть и – две формы (быть может, от одних и тех же, быть может, от различных – полностью или частично – переменных). Если какая-то буква входит в обе рассматриваемые формы, то мы будем считать, что она обозначает в них одно и то же. В частности, если какая-то буква входит в обе формы и является переменной, то она имеет одинаковую (для обеих форм) область значе­ний. При этом предположении назовем формы и рав­носильными, если при любом наборе значений всех перемен­ных, входящих в обе эти формы, либо они обе не опреде-лены, либо обе определены и обозначают одно и то же (имеют одинаковое значение). Обозна-чать равносильность форм и мы будем символом : . Обозначать неравносиль-ность мы будем символом : . При тех же предположениях форму назовём равно-силь­ной константе А, если при любом наборе значений перемен­ных формы она на этом на-боре означает то же, что и кон­станта А. Короче: А. Назовем, наконец, констан­ты А и В рав-носильными, если они обозначают одно и то же: А В.

Заметим, что для любых форм , и C верно следующее

Утверждение 1. а) ; б) если , то ; в) если и C, то C ■

Пример 5. Формы (x + 1)² и x ² + 2 x + 1 равно­сильны. Конечно, формально требуется в каждой из них определить переменные и их области значений. Переменной в обеих формах считаем букву x; областью значений является множество всех действительных чисел, т.е. пере-менные являются числовыми ■

Далее областью значений числовой переменной будет считаться (если противное не ого-ворено) множество всех действительных чисел (числовая прямая)

Пример 6. Формы Ø P ÙØ Q и Ø(P Ú Q) из примера 1-4) равносильны. Формально в каждой из них переменными объявлены буквы P и Q; множеством значений во всех случаях является множество истинностных значений { T, F }. Данная равносильность обычно называется прави-лом де Моргана ■

Пример 7. Форма cos² x + sin² x c одной переменной x равносильна константе 1 (с учётом соглашения, следующего сразу после примера 5) ■

Пример 8. Форма x ² ≥ 0 с одной числовой переменной x с произвольной числовой областью значений при любом x является истинным высказыванием. Поэтому данная форма равносильна константе T. Аналогично, форма x ² < 0 равносильна константе F ■

Пример 9. Две формы: cos(x + y) и cos x cos y – sin x sin y равносильны как две формы от числовых переменных x и y ■

Пример 10. Одна форма: cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y от числовых переменных x и y равносильна логической константе T ■

Пример 11. Определим форму следующим образом. Положим

F (p) =

Объявим переменной букву p с областью значений { T, F }. При этом буквы 0 и 1 предполагают-ся числовыми константами ■

Важнейшими классами форм являются класс числовых форм и класс высказывательных форм. Форма называется числовой, если при любом наборе значений своих перемен­ных, на ко-тором она определена, она обозначает число (является числом). Форма называется высказыва-тельной, если при любом наборе значений своих переменных, на котором она определена, она обозначает высказывание (является высказыванием).

Не следует путать понятия числовой переменной и числовой формы, высказывательной переменной и высказывательной формы. В примерах 8 и 10 переменные являются числовыми, форма же является высказывательной. В примере 11, наоборот переменная является высказы-вательной, а форма является числовой. В примере 6 как переменные, так и форма являются вы-сказывательными. Наконец, в примерах 7 и 9 как переменные, так и форма являются числовы-ми.

Для обозначения равносильности числовых форм, наряду с общим знаком используется также обычный знак равенства =. Для обозначения равносильности высказывательных форм используется также знак º (см. раздел 1-3.1, где этот же знак используется для обозначения равносильности составных высказываний – частного случая высказывательных форм).

Далее в данной главе рассматриваются только высказывательные формы.

Дата добавления: 2015-10-16