Необходимые сведения из теории

Натуральной степенью действительного числа называется действительное число, получаемое в результате умножения числа на себя раз , где основание степени, показатель степени (натуральное число).

Показательной называется функция вида , где постоянное положительное число отличное от единицы. Ее областью определения является множество всех действительных чисел. Показательная функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при . Для решения практических задач необходимо знать следующие свойства степеней и радикалов:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

График показательной функции :

Пример:

Логарифмом положительного числа по положительному и не равному единице основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число . Обозначается .

Логарифмической называется функция вида , где а -постоянное положительное число отличное от единицы. Ее областью определения является множество всех положительных чисел (). Логарифмическая функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при . Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными. Показательная функция характеризует изменение степени в зависимости от изменения показателя степени, а логарифмическая функция наоборот - изменение показателя степени в зависимости от изменения степени. Свойства логарифмов:

1.Основное логарифмическое тождество: ()

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. (формула перехода к новому основанию)

9.

График логарифмической функции:

Пример: Установить соответствие графиков и функций.

Наиболее часто используемыми на практике являются десятичный логарифм и натуральный логарифм

Показательными называются уравнения и неравенства содержащие переменную в показателе степени, а логарифмическими - под знаком логарифма или в основании логарифма. При решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств необходимо учитывать следующие правила:

1. Показательное уравнение равносильно уравнению , где .

2. При показательное неравенство равносильно неравенству .

3. При показательное неравенство равносильно неравенству .

4. Простейшее логарифмическое уравнение решается потенцированием:

5. Логарифмическое уравнение равносильно уравнению , где и . Данные неравенства определяют ОДЗ переменной x исходного уравнения, поэтому полученные в результате решения корни уравнения должны удовлетворять этим неравенствам (необходимо делать проверку).

6. При логарифмическое неравенство равносильно неравенству , где и , т.е. сводится к решению системы

7. При логарифмическое неравенство равносильно неравенству , где и , т.е. сводится к решению системы

Рассмотрим основные методы решения показательных и логарифмических уравнений.

Дата добавления: 2015-10-21