Лінійні рівняння частинних похідних першого порядку

Постановка задачі:

- незалежні змінні

Визначення. Рівняння, що пов’язують шукану функцію, незалежні змінні та частинні похідні шуканої функції називають рівняннями з частинними похідними.

…, ,..)=0

Порядок рівняння – це порядок вищої похідної, яка присутня в цьому рівнянні.

Першого порядку:

, )=0

можна переписати:

= , = ,…, =

)=0

У випадку двох змінних:

)=0

)=0

Другого порядку:

, )=0

, )=0

У випадку двох змінних:

, )=0

, )=0.

Можна подати і систему:

, )=0

Проте може бути, що число рівнянь більше числа шуканих функцій.

Для існування розвязку таких систем необхідно виконання додаткових умов. Якщо ці умови будуть достатніми для існування загального розвязку, то вони називаються умовами сумісності.

Задача розв’язку рівняння з частинними похідними - знайти всі розв’язки даного рівняння.

Звичайне диференційне рівняння.

n=1 – була нескінченна кількість розв’язків, кожний з яких визначався деякими значеннями с (довільна константа).

)=0,

z=z(x,y),

Будемо вважати y – параметр.

Отримаємо в результаті інтегрування розв’язок, який буде залежати від х, у (як параметра), та від константи с по відношенню до х, тобто вона може залежати як завгодно від у.

z=z(x,y,с).

Тобто загальний розв’язок містить довільну функцію.

Дата добавления: 2015-08-13